b_{n}
\end{pmatrix}</tex>

Pentru a rezolva sistemul vom transforma toate elementele de sub diagonala principală a matricei extinse în $0$.

Pentru a rezolva sistemul vom transforma toate elementele de sub diagonala principală a matricei extinse în $0$ pentru a putea scrie fiecare necunoscută doar în funcţie de necunoscutele cu indici mai mari.

<tex>
\begin{pmatrix}

\end{pmatrix}
</tex>

Având matricea sub această formă putem să aflăm uşor necunoscutele:

Având matricea sub această formă putem să aflăm uşor fiecare necunoscută din ecuaţia în care necunoscutele cu indici mai mici au coeficientul $0$:

 <tex>
\:
x_{n}=\frac{b'_{n}}{a'_{nn}}</tex>

<tex> \vdots</tex>
<tex> x_{i}=\frac{b'_{i}-\sum\limits_{j=i+1}^n a'_{ij}*x_{j}}{a'_{ii}}</tex>

Acum că ştim să aflăm necunoscutele din forma triunghiulară a matricei ne mai rămâne doar să transformăm matricea.
Pentru a transforma matricea în formă triunghiulară vom aplica două operaţii:
<tex>L_{i} \longleftrightarrow L_{j}</tex> : interschimbarea a două linii
<tex>L_{j} \longleftarrow L_{j}+a*L_{i}</tex> unde <tex>L_{i}</tex> este o linie a matricei extinse.
 
De exemplu:
 
<tex>
\begin{pmatrix}
2  &  1 & -1 & 8 \\
-3 & -1 & 2 & -11 \\
-2 & 1 & 2 & -3
\end{pmatrix} \longrightarrow
 
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & 8 \\
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\
0 & 2 & 1 & 5
\end{pmatrix} \longrightarrow
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & 8 \\
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
</tex>
 

h2(#aplicatii). Aplicaţii
'The magic matrix':http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=12495