!{margin: 10px; margin-right: 5; border: 1px solid gray;}<blog/suma-in-triunghi-rezolvare?graph.gif!
Sa revenim la problema noastra:

E simplu de demonstrat ca suma a doua functii convexe e tot o functie convexa. Maximul pentru o functie convexa e realizat pe marginea domeniului de definitie. Asta e usor de vazut mai ales pentru functii unidimensionale cum ar fi parabolele.
 
Functia distanta euclidiana e o functie strict convexa si o combinatia din problema 2dist(M, A) + dist(M, B) + dist(M, C) este si ea o functie convexa. Si cum maximul pentru functii de genul asta e realizat in capete, ne e deajuns sa ne uitam la valoarea functiei in punctele A, B si C. Astfel vedem ca C e punctul cautat.

Functia distanta euclidiana e o functie strict convexa. E simplu de demonstrat ca suma a doua functii convexe e tot o functie convexa. De aici rezulta ca 2dist(M, A) + dist(M, B) + dist(M, C) e si ea o functie convexa.
Maximul pentru o functie convexa e realizat pe marginea domeniului de definitie. Asta e usor de vazut mai ales pentru functii unidimensionale cum ar fi parabolele.
Astfel e deajuns sa ne uitam la valoarea functiei in punctele A, B si C. Obtinem ca C e punctul cautat.

Am facut un grafic folosind octave unde punctele A, B si C au coordonatele (0, 0), (3, 0) respectiv (0, 4), iar culoarea graficului reprezinta suma ceruta in problema.