h2(#aplicatia-1). Aplicaţia 1

Fie două puncte $A$ şi $B$ de aceiaşi parte a unei drepte $d$. Se cere să se determine un punct $M$ pe dreapta $d$ cu proprietatea că suma $AM + MB$ e mininimă.

bq. Fie două puncte $A$ şi $B$ de aceiaşi parte a unei drepte $d$. Se cere să se determine un punct $M$ pe dreapta $d$ cu proprietatea că suma $AM + MB$ e mininimă.

!transformari-geometrice?aplicatie-1.1.png!

p=. !transformari-geometrice?aplicatie-1.1.png 60%!

h3. Rezolvare

!transformari-geometrice?aplicatie-1.2.png!

p=. !transformari-geometrice?aplicatie-1.2.png 60%!

Ducem simetricul punctului $A$ faţă de dreapta $d$ pe care îl notăm cu $A’$. Oricare ar fi un punct $N$ pe dreapta $d$, $AN = A’N$ pentru că triunghiul $AA’N$ este isoscel având dreapta $d$ şi înălţime şi mediană. Astfel, avem că $AN + NB = A’N + NB$, deci pentru ca să minimizăm suma $AM + MB$ trebuie de fapt să minimizăm suma $A’M + MB$. Punctele $A’$ şi $B$ sunt situate de părţi diferite ale dreptei, deci punctul $M$ trebuie situat la intersecţia segmentului $A’B$ cu dreapta $d$.

h2(#aplicatia-2). Aplicaţia 2
 
bq. Fie două puncte $A$ şi $B$ în interiorul unui unghi format de semidreptele $d{~1~}$ şi $d{~2~}$ care au capătul comun $O$. Se cere să se determine două puncte $M$ şi $N$ astfel ca $M$ să aparţină lui $d{~1~}$ şi $N$ să aparţină lui $d{~2~}$ iar suma $AM + MN + NB$ să fie minimă.
 
p=. !transformari-geometrice?aplicatie-2.1.png 60%!
 
h3. Rezolvare
 
p=. !transformari-geometrice?aplicatie-2.2.png 60%!
 
Folosim aceeaşi idee: ducem simetricul punctului $A$, notat cu $A’$, faţă de dreapta $d{~1~}$ şi simetricul punctului $B$ notat cu $B’$ faţă de dreapta $d{~2~}$. Orice puncte $M$ şi $N$ am alege, avem că $AM + MN + NB = A’M + MN + NB$. Pentru a minimiza suma $A’M + MN + NB’$ trebuie ca $M$ şi $N$ să fie intersecţiile segmentului $A’B’$ cu semidreptele $d{~1~}$ şi $d{~2~}$.