h2(#aplicatia-1). Aplicaţia 1

!< transformari-geometrice?aplicatie-1.1.png 60%!
 

bq. Fie două puncte $A$ şi $B$ de aceiaşi parte a unei drepte $d$. Se cere să se determine un punct $M$ pe dreapta $d$ cu proprietatea că suma $AM + MB$ e mininimă.

p=. !transformari-geometrice?aplicatie-1.1.png 60%!

!> transformari-geometrice?aplicatie-1.2.png 60%!

h3. Rezolvare:

p=. !transformari-geometrice?aplicatie-1.2.png 60%!
 

Ducem simetricul punctului $A$ faţă de dreapta $d$ pe care îl notăm cu $A’$. Oricare ar fi un punct $N$ pe dreapta $d$, $AN = A’N$ pentru că triunghiul $AA’N$ este isoscel având dreapta $d$ şi înălţime şi mediană. Astfel, avem că $AN + NB = A’N + NB$, deci pentru ca să minimizăm suma $AM + MB$ trebuie de fapt să minimizăm suma $A’M + MB$. Punctele $A’$ şi $B$ sunt situate de părţi diferite ale dreptei, deci punctul $M$ trebuie situat la intersecţia segmentului $A’B$ cu dreapta $d$.
h2(#aplicatia-2). Aplicaţia 2

!< transformari-geometrice?aplicatie-2.1.png 60%!
 

bq. Fie două puncte $A$ şi $B$ în interiorul unui unghi format de semidreptele $d{~1~}$ şi $d{~2~}$ care au capătul comun $O$. Se cere să se determine două puncte $M$ şi $N$ astfel ca $M$ să aparţină lui $d{~1~}$ şi $N$ să aparţină lui $d{~2~}$ iar suma $AM + MN + NB$ să fie minimă.

p=. !transformari-geometrice?aplicatie-2.1.png 60%!

!> transformari-geometrice?aplicatie-2.2.png 60%!

h3. Rezolvare:

p=. !transformari-geometrice?aplicatie-2.2.png 60%!
 

Folosim aceeaşi idee: ducem simetricul punctului $A$, notat cu $A’$, faţă de dreapta $d{~1~}$ şi simetricul punctului $B$ notat cu $B’$ faţă de dreapta $d{~2~}$. Orice puncte $M$ şi $N$ am alege, avem că $AM + MN + NB = A’M + MN + NB$. Pentru a minimiza suma $A’M + MN + NB’$ trebuie ca $M$ şi $N$ să fie intersecţiile segmentului $A’B’$ cu semidreptele $d{~1~}$ şi $d{~2~}$.

h2(#aplicatia-3). Aplicaţia 3
Dându-se un triunghi ascuţitunghic $ABC$ se cere să se determine un triunghi înscris în acesta de perimetru minim.

h2(#aplicatia-3). Aplicaţia 3

h3. Rezolvare:

!< transformari-geometrice?aplicatie-3.1.png 70%!

Luăm un punct $M$ pe baza $BC$ a triunghiului $ABC$, un punct $P$ pe latura $AB$ şi un punct $N$ pe latura $AC$. Dacă avem $M’$ simetricul lui $M$ faţă de $AB$ şi $M’’$ simetricul lui $M$ faţă de $AC$, atunci $MN + NP + PM = M’’N + NP + PM’$. Ca să minimizăm această sumă, punctele $P$ şi $N$ trebuie să fie la intersecţia segmentului $M’M’’$ cu laturile $AB$, respectiv $AC$. Perimetrul triunghiului $MNP$ va fi egal cu lungimea segmentului $M’M’’$. Observăm că unghiul $M’AM’’$ are măsura egală cu $2 * măsura unghiului BAC$ şi că triunghiul $M’AM’’$ e isoscel de latură egală cu $AM$. Pentru ca $M’M’’$ să aibă lungimea minimă trebuie ca $AM$ să fie cât mai scurt. Acest segment este minim atunci când $M$ este piciorul înalţimii din $A$. La fel putem să deducem că $N$ este piciorul înălţimii din $B$, iar $P$ este piciorul înălţimii din $C$. Astfel, soluţia de perimetru minim este triunghiul ortic.

bq. Dându-se un triunghi ascuţitunghic $ABC$ se cere să se determine un triunghi înscris în acesta de perimetru minim.
h3. Rezolvare:
!> transformari-geometrice?aplicatie-3.2.png 70%!
Luăm un punct $M$ pe baza $BC$ a triunghiului $ABC$, un punct $P$ pe latura $AB$ şi un punct $N$ pe latura $AC$. Dacă avem $M’$ simetricul lui $M$ faţă de $AB$ şi $M’’$ simetricul lui $M$ faţă de $AC$, atunci $MN + NP + PM = M’’N + NP + PM’$. Ca să minimizăm această sumă, punctele $P$ şi $N$ trebuie să fie la intersecţia segmentului $M’M’’$ cu laturile $AB$, respectiv $AC$. Perimetrul triunghiului $MNP$ va fi egal cu lungimea segmentului $M’M’’$. Observăm că unghiul $M’AM’’$ are măsura egală cu $2 * măsura unghiului BAC$ şi că triunghiul $M’AM’’$ e isoscel de latură egală cu $AM$. Pentru ca $M’M’’$ să aibă lungimea minimă trebuie ca $AM$ să fie cât mai scurt. Acest segment este minim atunci când $M$ este piciorul înalţimii din $A$. La fel putem să deducem că $N$ este piciorul înălţimii din $B$, iar $P$ este piciorul înălţimii din $C$. Astfel, soluţia de perimetru minim este triunghiul ortic.