h2. Teorema chineza intr-un sistem de sharing $k$-threshold

Se considera o informatie secreta codificata intr-un numar foarte mare $N$. Pentru a-l pastra in siguranta, acesta este impartit la $n$ servere din tara. Daca $p$ servere nu functioneaza, din diverse motive, $N$ poate fi recuperat folosind $n-p$ servere ramase, atata timp cat $n-p$ <tex>\geq</tex> $k$, valoarea threshold.

Se considera o informatie secreta codificata intr-un numar foarte mare <tex>N</tex>. Pentru a-l pastra in siguranta, acesta este impartit la <tex>n</tex> servere din tara. Daca <tex>p</tex> servere nu functioneaza, din diverse motive, <tex>N</tex> poate fi recuperat folosind <tex>n-p</tex> servere ramase, atata timp cat <tex>n-p \geq k</tex>, valoarea threshold.

Alegand $n$ numere prime $p{~1~}$, $p{~2~}$, ..., $p{~n~}$, cuprinse intre $N^1/k^$ si $N^1/(k-1)^$, $N$ poate fi determinat folosind exact $k$ servere, dar niciodata mai putine. Fiecare server $i$ primeste catul si restul impartirii lui $N$ la $p{~i~}$. Pentru reconstituire se foloseste _t.c.r_, obtinandu-se astfel valoarea $N$ cautata. Acest lucru este posibil deoarece alegand, fara a restrange generalitatea, primele $k$ servere, se obtine o solutie modulo $p{~1~} * p{~2~} * ... * p{~k~}$.

Alegand <tex>n</tex> numere prime <tex>p_1, p_2, ..., p_n</tex>, cuprinse intre <tex>N^{1/k}</tex> si <tex>N^{1/(k-1)}</tex>, <tex>N</tex> poate fi determinat folosind exact <tex>k</tex> servere, dar niciodata mai putine. Fiecare server $i$ primeste catul si restul impartirii lui $N$ la $p{~i~}$. Pentru reconstituire se foloseste _t.c.r_, obtinandu-se astfel valoarea $N$ cautata. Acest lucru este posibil deoarece alegand, fara a restrange generalitatea, primele $k$ servere, se obtine o solutie modulo $p{~1~} * p{~2~} * ... * p{~k~}$.

Vom avea intotdeauna $p{~i~}> N^1/k^ * p{~1~} * p{~2~} * ... * p{~n~}> N$.
Toate solutiile vor fi de forma $x = (p{~1~} * p{~2~} * ...  * p{~n~}) * i + x{~0~}$;
dat fiind faptul prezentat anterior, ne intereseaza doar solutia cu $i = 0$.