Teorema chineza a resturilor - generalizari si aplicatii
Acest articol a fost adăugat de MciprianM •MciprianM Intră aici dacă doreşti să scrii articole sau află cum te poţi implica în celelalte proiecte infoarena! |
(Categoria Matematica, Autor Adrian Vladu)
Scurta istorie
Se considera un numar de obiecte. Impartindu-le in grupuri de cate trei, raman doua negrupate. Impartindu-le in grupuri de cate cinci, raman trei. Impartindu-le in grupuri de cate sapte, raman doua. Cate obiecte sunt? Aceasta este problema enuntata de matematicianul chinez Sun-Tsu in secolul al IV-lea al erei noastre. El a demonstrat ca toate numerele naturale de forma reprezinta solutiile acestei probleme. Din pacate nu putem sti daca a dezvoltat o metoda generala pentru a rezolva astfel de sisteme de ecuatii modulare. Aceasta este tema tratata in articolul care urmeaza.
Definitie
Pentru inceput, sa consideram sirul ale carui elemente sunt, luate doua cate doua, prime intre ele. Teorema chineza a restului (t.c.r.) afirma ca exista o corespondenta biunivoca intre orice numar si multimea ordonata de resturi ale lui a modulo . Cu alte cuvinte, operatiile in pot fi aplicate echivalent atat pe numere cat si pe multimile ordonate corespunzatoare resturilor modulo . Pentru orice , notam , respectiv , generand corespondentele respectiv . Conform teoremei chineze a restului, pentru orice operator , ramane o corespondenta valida. Problema care se iveste imediat este conversia dintr-o forma in alta. Transformarea unui numar in multimea corespunzatoare este imediata. Partea mai dificila este operatia inversa, iar aceasta este problema care va fi tratata in continuare. Pentru determinarea numarului , corespunzator multimii , este suficienta rezolvarea sistemului de ecuatii modulare:
Deoarece avem de a face cu o corespondenta biunivoca, conform teoremei, exista un singur care satisface sistemul de mai sus. Procedeul prin care se determina aceasta valoare nu este deosebit de complicat:
- se noteaza si (deoarece oricare doua valori si sunt prime intre ele, avem intotdeauna );
- se calculeaza , cu proprietatea ; cu alte cuvinte, avem ;
- se determina .
Sa demonstram mai intai ca acesta valoare satisface sistemul. Este necesar ca pentru orice , . Mai exact, trebuie sa fie satisfacuta egalitatea , . Datorita faptului ca , avem . Stim ca , , , deci , . Este suficient sa demonstram ca . Folosind ajungem la egalitatea evidenta (q.e.d.)
Mai ramane de verificat daca valoarea este unica. Fie o alta solutie; avem si . Daca si , , presupunand ca , avem , . Datorita faptului ca numerele sunt relativ prime, rezulta ca , , deci , ceea ce contrazice ipoteza initiala. Asadar, solutia este unica, asa cum poate fi dedus si din t.c.r. Mai mult, verificand daca se pastreaza corespondenta in cazul aplicarii operatorilor, demonstrarea t.c.r. poate fi usor incheiata.
Pentru calcularea inversului modular al unui numar din , de obicei se foloseste algoritmul extins al lui Euclid. Evident, pentru ca acest invers sa existe, trebuie sa avem . Aplicam algoritmul extins al lui Euclid si determinam si astfel incat si obtinem ; pentru a verifica observam ca egalitatea este echivalenta cu care, la randul sau, este echivalenta cu . Aceasta ultima afirmatie este evident adevarata deoarece avem . Pentru valori mici ale lui , este recomandata preprocesarea "bruta" a inverselor tuturor numerelor din prime cu , folosind doua structuri repetitive imbricate.
Rezolvarea sistemelor de ecuatii modulare liniare generale
O problema mai generala care ne-ar putea interesa este rezolvarea sistemelor de ecuatii modulare
unde nu sunt neaparat prime intre ele. Este suficienta generalizarea pentru un sistem de doua ecuatii. Din
se va obtine o a treia ecuatie satisfacuta de orice valoare cu proprietatea ca exista , astfel incat . Pentru oricare astfel de valoare , vom avea:
si
.
Cu alte cuvinte, sistemul si noua ecuatie sunt echivalente.
Daca deteriminam valoarea minima care satisface sistemul de ecuatii modulare, toate celelalte solutii vor fi obtinute adunand la acesta un multiplu al celui mai mic multiplu comun al numerelor . Din se obtine . Fie . Aplicand algoritmul extins al lui Euclid se determina valorile si astfel incat . Amplificand cu se obtine: . Am putea fi tentati sa credem ca si , dar aceasta nu este intotdeauna cea mai buna solutie.
Fie , valoarea minima pentru care, daca este solutie, atunci si este solutie (cu alte cuvinte, este perioada). Notand , observam ca satisface sistemul. Dorim sa gasim cea mai mica solutie, deci valoarea trebuie sa fie cat mai mica posibil. Fie , iar cea mai mica valoare care satisface sistemul. Stim ca si exista o singura solutie mai mica decat . Avem , deci . Sistemul format din cele doua ecuatii este satisfacut pentru valorile , pentru . Sistemul este astfel echivalent cu .
Pentru a rezolva un sistem de ecuatii cu mai mult de doua necunoscute este suficient sa aplicam succesiv operatiile descrise mai sus, reducand perechile de ecuatii la una singura echivalenta, pana cand ramane o singura ecuatie modulara.
Limbajele de programare evalueaza gresit operatiile de forma a mod n , atunci cand a este un numar intreg negativ. Pentru a evita neplacerile ar trebui implementata o functie proprie pentru operatia modulo. Un exemplu este prezentat in continuare:
int mod(int a, int n) {
a %= n;
if (a < 0) a += n;
return a;
}
Teorema chineza intr-un sistem de sharing k-threshold
Se considera o informatie secreta codificata intr-un numar foarte mare . Pentru a-l pastra in siguranta, acesta este impartit la servere din tara. Daca servere nu functioneaza, din diverse motive, poate fi recuperat folosind servere ramase, atata timp cat , valoarea threshold.
Alegand numere prime , cuprinse intre si , poate fi determinat folosind exact servere, dar niciodata mai putine. Fiecare server primeste catul si restul impartirii lui la . Pentru reconstituire se foloseste t.c.r, obtinandu-se astfel valoarea cautata. Acest lucru este posibil deoarece alegand, fara a restrange generalitatea, primele servere, se obtine o solutie modulo . Vom avea intotdeauna . Toate solutiile vor fi de forma ; dat fiind faptul prezentat anterior, ne intereseaza doar solutia cu . Presupunand ca se iau in considerare servere, se obtin (din nou fara a restrange generalitatea) solutii de forma . Un adversar care cunoaste secrete poate itera dupa , incercand toate valorile posibile ale lui . Desi initial am putea crede ca solutia va fi gasita usor, alegand o valoare mult mai mica decat , solutia generala va fi de forma , unde este mult mai mic decat , aceasta lasand intrusului un numar imens de incercari, iar ghicirea valorii corecte devine practic imposibila.
Bibliografie
- Th. Cormen, Ch. Leiserson, R. Rivest, Introduction to Algorithms
- Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming vol. 2 - Seminumerical Algorithms
- Sarad A.V aka Data, Applications to Chinese Remainder Theorem
***
Internet Problem Solving Contest 2005, Problem G - Gears in Action