<tex>x \equiv a_2 (mod\ n_2)</tex>.
Cu alte cuvinte, sistemul si noua ecuatie sunt echivalente.

Daca deteriminam valoarea $x$ minima care satisface sistemul de ecuatii modulare, toate celelalte solutii vor fi obtinute adunand la acesta un multiplu al celui mai mic multiplu comun al numerelor $n{~1~}$ , $n{~2~}$ , ..., $n{~k~}$ .
Din $n{~1~}{*} b{~1~}+ a{~1~}= n{~2~}{*} b{~2~}+ a{~2~}$ se obtine $n{~1~}{*} b{~1~}- n{~2~}{*} b{~2~}= a{~2~}- a{~1~}$ .
Fie $d = cmmdc(n{~1~}, n{~2~})$. Aplicand "algoritmul extins al lui Euclid":http://infoarena.ro/Algoritmul-lui-Euclid se determina valorile $c{~1~}$ si $c{~2~}$ astfel incat $n{~1~}{*} c{~1~}+ n{~2~}{*} c{~2~}= d$.
Amplificand cu $(a{~2~}- a{~1~}) / d$ se obtine: $n{~1~}{*} c{~1~}{*} (a{~2~}- a{~1~}) / d + n{~2~}{*} c{~2~}{*} (a{~2~}- a{~1~}) / d = a{~2~}- a{~1~}$ .

Daca deteriminam valoarea <tex>x</tex> minima care satisface sistemul de ecuatii modulare, toate celelalte solutii vor fi obtinute adunand la acesta un multiplu al celui mai mic multiplu comun al numerelor <tex>n_1, n_2, ..., n_k</tex>. Din <tex>n_1 * b_1 + a_1 = n_2 * b_2 + a_2</tex> se obtine <tex>n_1 * b_1 - n_2 * b_2 = a_2 - a_1</tex>. Fie <tex>d = cmmdc(n_1, n_2)</tex>. Aplicand "algoritmul extins al lui Euclid":http://infoarena.ro/Algoritmul-lui-Euclid se determina valorile <tex>c_1</tex> si <tex>c_2</tex> astfel incat <tex>n_1 * c_1 + n_2 * c_2 = d</tex>. Amplificand cu <tex>(a_2 - a_1) / d</tex> se obtine: <tex>n_1 * c_1 * (a_2 - a_1) / d + n_2 * c_2 * (a_2 - a_1) / d = a_2 - a_1</tex>.

Am putea fi tentati sa credem ca $b{~1~}= c{~1~}{*} (a{~2~}- a{~1~}) / d$ si $b{~2~}= c{~2~}{*} (a{~2~}- a{~1~})$, dar aceasta nu este intotdeauna cea mai buna solutie. Fie $h = cmmmc(n{~1~}, n{~2~})$, valoarea minima pentru care, daca $x$ este solutie, atunci si $x + h$ este solutie (cu alte cuvinte, $h$ este perioada).
Notand $l = (a{~2~}- a{~1~}) / d$, observam ca $n{~1~}{*} c{~1~}{*} l - n{~2~}{*} c{~2~}{*} l + k {*} h - k {*} h = n{~1~}{*} (c{~1~}{*} l + k {*} h / n{~1~}) - n{~2~}{*} (c{~2~}{*} l + k {*} h/ n{~2~})$ satisface sistemul. Dorim sa gasim cea mai mica solutie, deci valoarea $c{~1~}{*} l + k {*} h / n{~1~}$ trebuie sa fie cat mai mica posibil. Fie $m{~1~}= c{~1~}{*} l + k {*} h / n{~1~}$ , iar $n{~1~}{*} m{~1~}+ b{~1~}$ cea mai mica valoare care satisface sistemul. Stim ca $n{~1~}{*} m{~1~}+ b{~1~}< h$ si exista o singura solutie mai mica decat $h$. Avem $h / n{~1~}> m{~1~}$ <tex>\geq</tex> $0$, deci $m{~1~}= (c{~1~}{*} l) mod (h / n{~1~})$. Sistemul format din cele doua ecuatii este satisfacut pentru valorile $x = cmmmc(n{~1~}, n{~2~}) {*} i + n{~1~}{*} m{~1~}+ b{~1~}$ , pentru $i$ <tex>\geq</tex> $0$.
Sistemul este astfel echivalent cu $x$ <tex>\equiv</tex> $n{~1~}{*} m{~1~}+ b{~1~}(mod cmmmc(n{~1~}, n{~2~}))$.