*  se calculeaza <tex>x_i</tex> , <tex>i \in \{1, 2, ..., k\}</tex> cu proprietatea <tex>M_i * x_i \equiv 1 (mod\ n_i)</tex>; cu alte cuvinte, avem <tex>x_i = M_i^{-1}\ mod\ n_i</tex>;
*  se determina <tex>x = (a_1 * M_1 * x_1 + a_2 * M_2 * x_2_ + ... + a_k * M_k * x_k)\ mod\ n</tex>.

Sa demonstram mai intai ca acesta valoare $x$ satisface sistemul. Este necesar ca pentru orice $i$ <tex>\in</tex>${1, 2, ..., k}$, $x$ <tex>\equiv</tex> $a{~i~}(mod n{~i~})$. Mai exact, trebuie sa fie satisfacuta egalitatea $((a{~1~}{*} M{~1~}{*} x{~1~}+ a{~2~}{*} M{~2~}{*} x{~2~}+ ... + a{~k~}{*} M{~k~}{*} x{~k~}) mod n) mod n{~i~}= a{~i~}$ , <tex>\forall</tex> $i$ <tex>\in</tex> ${1, 2, ..., k}$. Datorita faptului ca $n{~i~}| n$, avem $(a{~1~}{*} M{~1~}{*} x{~1~}+ a{~2~}{*} M{~2~}{*} x{~2~}+ ... + a{~k~}{*} M{~k~}{*} x{~k~}) mod n{~i~}= a{~i~}$ . Stim ca $M{~i~}= n / n{~i~}$ , <tex>\forall</tex> $j$ <tex>\neq</tex> $i$ , $M{~j~} mod n{~i~}= 0$, deci <tex>\forall</tex> $j$ <tex>\neq</tex>$i$, $(a{~j~} {*} M{~j~}{*} x{~j~}) mod n{~i~}= 0$. Este suficient sa demonstram ca $(a{~i~}{*} M{~i~}{*} x{~i~}) mod n{~i~}= a{~i~}$ <tex>\Leftrightarrow</tex>$(a{~i~}{*} (M{~i~}{*} x{~i~}) mod n{~i~}) mod n{~i~}= a{~i~}$ . Folosind $M{~i~}{*} x{~i~}$ <tex>\equiv</tex> $1 (mod n{~i~})$ ajungem la egalitatea evidenta $a{~i~}= a{~i~}$ (q.e.d.)

Sa demonstram mai intai ca acesta valoare <tex>x</tex> satisface sistemul. Este necesar ca pentru orice <tex>i \in \{1, 2, ..., k\}</tex>, <tex>x \equiv a_i(mod\ n_i)</tex>. Mai exact, trebuie sa fie satisfacuta egalitatea <tex>((a_1 * M_1 * x_1 + a_2 * M_2 * x_2 + ... + a_k * M_k * x_k)\ mod\ n)\ mod\ n_i = a_i</tex>, <tex>\forall i \in \{1, 2, ..., k\}</tex>. Datorita faptului ca <tex>n_i | n</tex>, avem <tex>(a_1 * M_1 * x_1 + a_2 * M_2 * x_2 + ... + a_k * M_k * x_k)\ mod\ n_i = a_i</tex>. Stim ca <tex>M_i = n / n_i</tex>, <tex>\forall j \neq i</tex>, <tex>M_j\ mod\ n_i = 0</tex>, deci <tex>\forall j \neq i</tex>, <tex>(a_j * M_j * x_j)\ mod\ n_i = 0</tex>. Este suficient sa demonstram ca <tex>(a_i * M_i * x_i)\ mod\ n_i = a_i \Leftrightarrow (a_i * (M_i * x_i)\ mod\ n_i)\ mod\ n_i = a_i</tex>. Folosind <tex>M_i * x_i \equiv 1 (mod\ n_i)</tex> ajungem la egalitatea evidenta <tex>a_i = a_i</tex>(q.e.d.)

Mai ramane de verificat daca valoarea $x$ este unica. Fie $x^'^$ o alta solutie; avem $x < n$ si $x^'^ < n$. Daca  {$x$} <tex>\equiv</tex> $a{~i~}(mod n{~i~})$ si $x^'^$ <tex>\equiv</tex> $a{~i~}(mod n{~i~})$, <tex>\forall</tex> $i$ <tex>\in</tex> ${1, 2, ..., k}$, presupunand ca $x^'^ < x$, avem $x^'^ - x$ <tex>\equiv</tex> $0 (mod n{~i~})$, <tex>\forall</tex> $i$ <tex>\in</tex> ${1, 2, ... k}$. Datorita faptului ca numerele $n{~i~}$ sunt relativ prime, rezulta ca $x^'^ - x = k {*} n$, $k$ <tex>\in</tex> $Z^*^$ , deci $x^'^ - x$ <tex>\geq</tex>$n$, ceea ce contrazice ipoteza initiala. Asadar, solutia este unica, asa cum poate fi dedus si din t.c.r. Mai mult, verificand daca se pastreaza corespondenta in cazul aplicarii operatorilor, demonstrarea t.c.r. poate fi usor incheiata.