Revizia anterioară Revizia următoare
| Fişierul intrare/ieşire: | lca.in, lca.out | Sursă | Arhiva educationala |
| Autor | Arhiva Educationala | Adăugată de |  Cella Florescu •cella.florescu |
| Timp execuţie pe test | 1.4 sec | Limită de memorie | 131072 kbytes |
| Scorul tău | N/A | Dificultate | N/A |
Poti vedea testele pentru aceasta problema accesand atasamentele.Vezi solutiile trimise | Statistici
Lowest Common Ancestor
Se dă un arbore cu N noduri, având rădăcina în nodul 1. Să se răspundă la M întrebări de forma: "Care este cel mai apropiat strămoş comun al nodurilor x şi y".
Date de intrare
Pe prima linie a fişierului de intrare lca.in se găsesc N şi M. Următoarea linie conţine N - 1 numere naturale, cel de-al i-lea număr reprezentând tatăl nodului i + 1 (nodul 1 fiind rădăcină nu are tată). Pe următoarele M linii se află câte 2 numere naturale, reprezentând nodurilor care definesc întrebările.
Date de ieşire
Fişierul de ieşire lca.out va conţine M linii, linia i conţinând răspunsul la întrebarea i.
Restricţii
- 1 ≤ N ≤ 100 000
- 1 ≤ M ≤ 2 000 000
Exemplu
| lca.in | lca.out |
|---|---|
| 11 5 1 1 2 2 2 4 4 6 3 3 10 11 8 9 5 11 5 6 4 2 | 3 2 1 2 2 |
Explicaţie
Arborele din exemplu arată astfel:
O primă soluţie, care caută LCA-ul celor două noduri mergând "în sus" pe ramurile nodurilor până când acestea se intersectează, având complexitatea de 
, ar trebui să obţină 30 puncte şi se găseşte aici.
O altă soluţie descrisă în acest articol, având complexitatea finală de 
, ar trebui să obţină 60 puncte. Aici se găseşte o sursă care se bazează pe această idee. Deşi nu este cea mai eficientă, avantajul acestei soluţii constă în faptul că se implementează foarte repede.
O altă soluţie relativ uşor şi rapid de implementat în condiţii de concurs este cea care foloseşte ideea de la problema Strămoşi. Se reţine pentru fiecare nod strămoşul cu 
nivele mai sus, unde k ia valori între 
şi 
. Astfel, pentru fiecare query, se aduce nodul de pe nivelul mai mare pe acelaşi nivel cu celălalt, după care se poate afla în timp logaritmic LCA-ul celor două noduri. Complexitatea finală este 
. Această soluţie ar trebui să obţină 60 puncte, iar sursa care se bazează pe această idee este aceasta.
TODO Nu înţeleg exact soluţia de mai sus. Eu ştiu de O(N logN + M log2N), pentru că o dată cauţi binar rezultatul şi a doua oară mergi cu informaţiile reţinute în sus în logN.
UPDATE Când vrei să afli LCA-ul pentru 2 noduri, mai întâi, aduci ambele noduri pe acelaşi nivel (nivelul minim al celor două), iar apoi cauţi să mergi cu 2k nivele mai sus cu ambele noduri doar dacă nodurile cu 2k nivele mai sus pentru ambele noduri sunt diferite. Astfel, se garantează că LCA-ul celor două noduri va fi cu un nivel mai sus decât nivelul la care am ajuns cu cele două noduri. Soluţia o găseşti şi în articolul de pe TopCoder.
Soluţia care ar trebui să obţină 100 de puncte se bazează pe următoarea observaţie: „Cel mai apropiat strămoş comun a 2 noduri este nodul de nivel minim dintre primele apariţii ale nodurilor din query din reprezentarea Euler a arborelui.” În cazul de faţă, reprezentarea Euler a arborelui este următoarea, pe următorul rând găsindu-se nivelurile nodurilor:
| Reprezentarea Euler | 1 | 2 | 4 | 7 | 4 | 8 | 4 | 2 | 5 | 2 | 6 | 9 | 6 | 2 | 1 | 3 | 10 | 3 | 11 | 3 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nivelul | 0 | 1 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 0 |
Pentru exemplificare, nodurile 8 şi 9 au cel mai apropiat strămoş comun nodul cu nivel minim din secvenţa 8 4 2 5 2 6 9, adică nodul 2, care are nivelul 1.
Pentru a implementa această soluţie, se folosesc arbori de intervale, având complexitatea 
, soluţie care ar trebui sa obţină 70 de puncte. Mai eficient, ţinând cont de restricţiile problemei, pentru determinarea minimului unei subsecvenţe se poate folosi RMQ. Astfel, complexitatea finală va fi 
, această soluţie obţinând 100 de puncte.
Un articol ce explică foarte bine atât RMQ, cât şi LCA se găseşte pe TopCoder.
