== include(page="template/taskheader" task_id="deque") ==
Se da un sir de $N$ numere intregi.
Se da un sir $A$ cu $N$ numere intregi. Pentru fiecare subsecventa de lungime $K$ sa se determine minimul, iar apoi sa se calculeze suma acestor minime.
h2. Cerinta
Pentru fiecare secventa de $K$ elemente consecutive, sa se determine numarul cu valoarea minima.
Sa se afiseze suma ceruta.
h2. Date de intrare
Pe prima linie a fisierului $deque.in$ se afla numere $N$ si $K$ cu semnificatia din enunt. Pe urmatoarele $N$ linii se afla cate un numar intreg din sirul dat.
Pe prima linie a fisierului $deque.in$ se afla numerele $N$ si $K$ cu semnificatia din enunt. Pe urmatoarele $N$ linii se afla cate un numar intreg din sirul dat.
h2. Date de ieşire
În fişierul de ieşire $deque.out$ se vor afla $N-K+1$ numere, al $i$-lea numar reprezentand minimul din secventa de lungime $K$ ce incepe pe pozitia $i$.
In fisierul de iesire $deque.out$ se va afla un singur numar intreg reprezentand suma ceruta.
h2. Restricţii
h2. Restrictii si precizari
* $1 ≤ N ≤ 2 000 000$
* $1 ≤ N ≤ 5 000 000$
* $1 ≤ K ≤ N$
* Elementele din sir vor avea valori cuprinse intre $-2 000 000 000$ si $2 000 000 000$.
* Elementele din sir vor avea valori cuprinse intre $-10 000 000$ si $10 000 000$
* Pentru rezultat se recomanda folosirea tipurilor intregi pe $64$ de biti
h2. Exemplu
table(example). |_. deque.in |_. deque.out |
| This is some
text written on
multiple lines.
| This is another
text written on
multiple lines.
| 9 3
-7
9
2
4
-1
5
6
7
1
|-2
|
h3. Explicaţie
...
Minimele corespunzatoare fiecarei subsecvente de lungime $3$ sunt: $-7 2 -1 -1 -1 5 1$, suma acestora fiind $-2$.
h2. Indicatii de rezolvare
Un articol care trateaza pe larg subiectul $deque$-ului se gaseste 'aici':deque-si-aplicatii. O prezentare mai succinta a acestei structuri de date se gaseste in continuare.
O abordare $brute-force$ in complexitate $O(N^2^)$, ce determina minimele parcurgand pe rand fiecare secventa, obtine $20$ de puncte. Sursa se gaseste 'aici':job_detail/229672?action=view-source. Aceasta solutie poate fi imbunatatita, astfel incat cand se trece de la secventa care incepe pe pozitia $i$ la cea care incepe pe pozitia $i+1$, sa se recalculeze minimul doar daca acesta se afla pe pozitia $i$ (acesta dispare din secventa curenta). Complexitatea ramane $O(N^2^)$ si aceasta idee obtine $30$ de puncte, dar pe teste aleatoare ruleaza comparabil cu solutia in complexitate $O(N)$. O astfel de implementare se gaseste 'aici':job_detail/229673?action=view-source.
O alta idee de rezolvare se bazeaza pe faptul ca pentru a trece de la secventa care incepe pe pozitia $i$ la cea care incepe pe pozitia $i+1$ dispare elementul de pe pozitia $i$ si apare unul nou pe pozitia $i+K$. Pornind de la aceasta observatie, putem folosi un 'heap':problema/heapuri pentru a efectua stergerile si inserarile in complexitate $O(logN)$ si pentru a afla minimul pentru un interval in $O(1)$. In acest caz, complexitatea totala este $O(NlogN)$ si o astfel de abordare ar trebui sa obtina $60$ de puncte (sursa bazata pe aceasta idee se gaseste 'aici':job_detail/229674?action=view-source). Este posibil ca folosind diverse optimizari aceasta rezolvare sa obtina $100$ puncte (motivul principal fiind cantitatea datelor de intrare).
O solutie de complexitate $O(N)$ foloseste o coada cu doua capete ({_double ended queue, deque_}). In aceasta structura, valorile pot fi inserate sau eliminate atat pe la inceputul, cat si pe la sfarsitul $deque$-ului, toate aceste operatii avand loc in timp $O(1)$ amortizat. Se observa ca daca exista doua elemente $A{~i~}$ si $A{~j~}$ astfel incat $A{~i~} ≤ A{~j~}$ si $i > j$, atunci $A{~i~}$ va fi mereu preferat pentru minim fata de $A{~j~}$, pentru secventele ce incep dupa pozitia $i$ (inclusiv). Din acest motiv, la fiecare pas $i$, elementul curent $A{~i~}$ elimina de la finalul $deque$-ului toate elementele mai mari sau egale cu el, apoi este inserat la finalul cozii. In acest fel, elementele din $deque$ sunt mentinute in ordine crescatoare, deci minimul se va afla la inceput. Se elimina apoi minimul de la inceputul cozii daca acesta nu mai apartine secventei curente (pozitia lui este mai mica sau egala cu $i-K$). In final, se aduna minimul la solutie. O implementare a acestei structuri de date se gaseste 'aici':job_detail/229406?action=view-source.
h2. Aplicatii
Aceasta structura de date poate fi adaptata intr-o larga varietate de probleme. In special, $deque$-ul poate fi aplicat in probleme de programare dinamica, cand trebuie determinat minimul/maximul unei functii pe un interval ce se deplaseaza treptat. De asemenea, pe baza acestei idei pot fi rezolvate si urmatoarele probleme:
* 'Secventa':problema/secventa
* 'Vila2':problema/vila2
* 'Sum2':problema/sum2
* 'Drept2':problema/drept2
* "Book Pile":http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=271
* 'Branza':problema/branza
* 'Struti':problema/struti
* 'Bcrc':problema/bcrc
* 'Copaci2':problema/copaci2
* 'Cover':problema/cover
* 'Gard':problema/gard
== include(page="template/taskfooter" task_id="deque") ==
