h1. Notiuni de geometrie si aplicatii
h1. Notiuni elementare de geometrie si aplicatii
(Categoria _Geometrie_, autori _Savin Tiberiu_ si _Sima Mihai Cotizo_)
(Categoria _Geometrie_, Autori _Savin Tiberiu_ si _Sima Mihai Cotizo_)
h2. 1.Drepte
(toc){width: 27em}*{text-align:center} *Conţinut:*
* '**0. Introducere**':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii#introducere
* '1. Arii':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii
** '- triunghi':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#triunghi
** '- patrulater':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#patrulater
** '- poligon':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#poligon
* '2. Drepte':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte
** '- elemente generale':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#general
** '- ecuaţii':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#ecuatii
** '- distanţa punct-linie':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#dpl
** '- distanţa punct-segment(semidreaptă)':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#dps
* '3. Punct în poligon':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon
** '- crossing-number':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#cn
** '- winding-number (?)':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#wn
** '- şmenuri':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#smen
* '4. Intersecţii de drepte şi segmente':notiuni-de-geometrie-si-aplicati/intersectii-drepte-si-segmente
* 5. Distanţe
** - între linii
** - între segmente şi semidrepte
** - cea mai mică distanţă între două mobile
* 6. Bounding ...
** - ... box
** - ... circle
* '7. Infaşurătoare convexă':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/infasuratoare-convexa
* 8. Puncte extreme şi distanţa poligon-linie
* 9. Tangente
* 10. Probleme de concurs
h3. +Ecuatiile dreptelor+
h2(#introducere). 0. Introducere
Ecuatia unei drepte reprezinta o relatie care este respecatata de toate punctele aflate pe dreapta. Forma generala a ecuatiei unei drepte in sistemul xOy este:
**Geometria** (din greaca veche - {_geo_}=pământ, {_metria_}=a măsura) este partea matematicii care se ocupă cu problemele privind dimensiunile, forma şi poziţia figurilor. Introducerea coordonatelor de către René Descartes a dus la dezvoltarea geometriei analitice, a cărei scop devine studierea geometriei prin funcţii şi ecuaţii.
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie001.gif!
În problemele de olimpiadă este necesară cunoaşterea câtorva noţiuni şi idei de bază pentru a facilita găsirea unui algoritm eficient într-un timp scurt. Prezentul articol are ca scop explicarea acestor noţiuni privitoare la geometria plană (2D) şi studierea câtorva idei aplicate în problemele de concurs.
In cazul in care dreapta nu este in plan se va adauga un coeficient nou la ecuatie pentru fiecare dimensiune, de exemplu pentru o dreapta in spatiu ecuatia ei va fi :
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie002.gif!
Pentru simplitate de aici inainte ne vom referi numai la drepte in plan. De mentionat este faptul ca daca trecem pe $y$ in partea dreapta si impartim prin $-b$ (consideram un caz general, nu cel nefericit in care $b=0$), obtinem:
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie003.gif!
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie004.gif!
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie005.gif!
De asemenea, fiind date doua puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B{x{~2~},y{~2~})$, ecuatia dreptei determinate de ei se poate scrie:
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie006.gif!
Aceasta poate sa nu ne fie de foarte mult ajutor, dar facand produsul mezilor cu extremii si desfacand parantezele vom obtine:
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie007.gif!, de unde putem deduce foarte usor cine sunt $a$, $b$, $c$ din scrierile precedente.
Se poate ridica intrebarea "de ce toate ecuatiile sunt (in general) egale cu 0?". Raspunsul este unul extrem de simplu: _dreptele sunt locuri geometrice_ (multimi de puncte cu aceeasi proprietate) _pentru care ecuatia respectiva este egala cu $0$_. De asemenea, se stie ca orice dreapta imparte planul in $2$ semiplane : cel cu puncte pentru care daca aplicam ecuatia, vom obtine o valoare strict pozitiva, iar cel pt care vom obtine o valoare strict negativa. De aceea, daca avem o dreapta data prin 2 puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B{x{~2~},y{~2~})$ de pe aceasta, atunci punctul $C{x{~3~},y{~3~})$ va apartine dreptei $AB$ daca si numai daca:
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=determinant001.gif!
h3. +Punctul de intersectie a 2 drepte+
Dupa cum am vazut o dreapta reprezinta un loc geometric. Sa zicem ca avem 2 drepte $d{~1~}$ si $d{~2~}$ si dorim sa aflam punctul $A(x,y)$ cu propietatea ca acesta apartine atat dreptei $d{~1~}$ cat si dreptei $d{~2~}$. Scriem ecuatiile celor 2 drepte:
$a{~1~}*x + b{~1~}*y + c{~1~}=0$
$a{~2~}*x + b{~2~}*y + c{~2~}=0$
Am ajuns astfel la un sistem de $2$ ecuatii cu $2$ necunoscute. Pentru a ajunge la niste formule mai directe de calculare a celor $2$ coordonare vom inmulti prima relatie cu $b{~2~}$ si pe cea de-a doua cu $b{~1~}$.
$a{~1~}*b{~2~}*x + b{~1~}*b{~2~}*y + c{~1~}*b{~2~}=0$
$a{~2~}*b{~1~}*x + b{~1~}*b{~2~}*y + c{~2~}*b{~1~}=0$
Scadem cele doua relatii si ajungem la o singura ecuatie cu o singura necunoscuta:
$(a{~1~}*b{~2~} - a{~2~}*b{~1~})*x + c{~1~}*b{~2~} - c{~2~}*b{~1~}=0$ <=>
x= $(c{~2~}*b{~1~} - c{~1~}*b{~2~})/(a{~1~}*b{~2~} - a{~2~}*b{~1~})$
Odata ce l-am aflat pe $x$, descoperirea celeilalte coordonate e destul de triviala:
$a{~1~}*x+b{~1~}*y+c{~1~}=0$ <=>
$y=(-c{~1~}-a{~1~}*x)/b{~1~}$
h3. Panta unei drepte
Panta unei drepte se poate defini ca fiind tangenta unghiului facut de dreapta cu orizontala, mai exact cu orice dreapta paralela cu axa $OX$. Ea se calculeaza astfel:
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=panta.gif!
Propietati:
{*} Doua drepte care au pantele egale sunt ori paralele ori confundate.
{*} Doua drepte care au produsul pantelor egal cu $-1$ sunt perpendiculare.
h2. 2.Distante
h3. +Distanta dintre 2 puncte+
Consideram $2$ puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B(x{~2~},y{~2~})$, si vrem sa aflam distanta dintre ele. Pentru a face acest lucru construim un al treilea punct $C(x{~2~},y{~1~}) si observam ca triunghiul ACB este dreptunghic iar distanta dintre punctele $AB$ este intocmai ipotenuza acestui triunghi. Folosind "teorema lui Pitagora":http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html ajunge la urmatoarea formula:
$d= √(x2-x1)*(x2-x1)+(y2 - y1)*(y2 - y1)$
h3. +Distanta dintre un punct si o dreapta+
Pentru a calcula distanta care ne trebuie noua vom calcula panta dreptei $d{~1~}$ notata cu $m{~1~}$. Acum vrem sa construim o dreapta $d{~2~}$ perpendiculara pe dreapta $d{~1~}$ care trece prin punctul $A$. Stim ca $m{~1~}*m{~2~}=-1$ si de aici aflam usor $m{~2~}$ (panta dreptei $d{~2~}$). In acest moment avem panta dreptei $d{~2~}$ si un punct care ii apartine. Avand aceste 2 informatii putem sa calculam usor ecuatia ei si punctul de intersectie cu dreapta $d{~1~}$ ({_Vezi capitolul Drepte_}). Distanta dintre dreapta si punct va fi egala cu distanta dintre punct si punctul de intersectie al celor $2$ drepte.
De asemenea exista si o formula pt a determina distanta de la un punct la o dreapta: considerand punctul $A(x,y)$ si dreapta $d: ax+by+c=0$, vom avea :
h3. +Distanta dintre un punct si un segment+
Sa presupunem un punct $A(x{~1~},y(~1~))$ si un segment determinat de punctele $B(x{~2~},y(~2~))$ si $C(x{~3~},y(~3~))$ si vrem sa aflam distanta dintre punct si segment.
$d$=min(dist({$A$},{$B$}),dist({$A$},{$C$})) in cazul in care perpendiculara din punctul $A$ pe dreapta $BC$ *nu* cade in interiorul segmentului $BC$, altfel distanta va fi egala cu distanta dintre punctul $A$ si dreapta $BC$, lucru care l-am tratat mai sus.
