h2(#poligon). Aria unui poligon

Pentru a calcula aria unui poligon oarecare {$A{~1~}A{~2~}A{~3~}..A{~n~}$}, vom considera un punct P arbitrar ales în plan. Vom "împărţi" poligonul în triunghiuri de forma $PA{~i~}A{~i+1~}$ (considerăm că A{~1~}=A{~n+1~}) şi vom calcula "aria cu semn" $T{~i~}$ a fiecărui triunghi (în formula ariei nu vom folosi funcţia de valoare absolută). Distingem în acest moment două cazuri:

Aria unui poligon convex cu $n$ laturi o putem calcula foarte usor folosind formula pentru aria unui triunghi astfel.

* Poligonul are vârfurile orientate trigonometric. Pentru fiecare latură "spre dreapta", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi negativă, iar pentru fiecare latură "spre stânga", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi pozitivă.
* Poligonul are vârfurile orientate antitrigonometric. Pentru fiecare latură "spre dreapta", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi pozitivă, iar pentru fiecare latură "spre stânga", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi negativă.

<tex>\displaystyle \sum_{i=2}^{i<n} Arie(p_{1},p_{i},p_{i+1})</tex>

În ambele cazuri, efectuând suma algebrică a ariilor $T{~i~}$ vom obţine aria poligonului (deoarece ariile negative vor "anula" zonele corespunzătoare ariilor pozitive care se află în afara poligonului).

Unde <tex>Arie(p_{x},p_{y},p_{z})</tex> reprezinta aria triunghiului determinat de punctele $p{~x~}$, $p{~y~}$, $p{~z~}$.

!notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii?poligon.jpg!
 
Dacă alegem punctul $P(0,0)$, fiecare arie $T{~i~}$ devine:
<tex>\begin{math}T_{i} = \frac{1}{2}\cdot abs\left(\left|\begin{array}{ccc}
\ 0 & 0 & 1\\
x_i & y_i & 1\\
x_i+1 & y_i+1 & 1\end{array}\right|\right) = \frac{1}{2}\cdot\left(x_i\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_i\right)
\end{math}</tex>
 
Formula finală devine:
<tex>\begin{math}
A = \displaystyle\sum_{i=1}^n T_i = \frac{1}{2}\cdot\displaystyle\sum_{i=1}^n \left(x_i\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_i\right)
\end{math}</tex>
 
Această formulă reprezintă "aria cu semn" a poligonului (o arie pozitivă indică parcurgerea vârfurilor în ordine trigonometrică, iar o arie negativă, parcurgerea in ordine antitrigonometrică).

Aria unui poligon concav se calculeaza la fel doar ca atunci cand calculam <tex>Arie(p_{1},p_{i},p_{i+1}</tex> renuntam la abs, si tinem minte semnul determinantului si luam valoarea absoluta dupa ce am calculat intreaga suma.