Problema este pretext pentru a va introduce notiunea de 'functie convexa':http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function. O astfel de functie are proprietatea ca pentru oricare doua puncte de pe graficul ei, graficul se afla sub segmentul determinat de cele doua functii.

Mai formal, daca <tex>f:X->R</tex> unde <tex>X</tex> e un domeniu convex (interval etc.) atunci pentru oricare doua puncte <tex>x1</tex> si <tex>x2</tex> din <tex>X</tex> si orice <tex>t</tex> din intervalul <tex>[0, 1]</tex> avem ca <tex>f(tx1 + (1-t)x2) <= tf(x1) + (1-t)f(x2)</tex>.

Mai formal, daca <tex>f:X->R</tex> unde <tex>X</tex> e un domeniu convex (interval etc.) atunci pentru oricare doua puncte <tex>x1</tex> si <tex>x2</tex> din <tex>X</tex> si orice <tex>t</tex> din intervalul <tex>[0, 1]</tex> avem ca <tex>f(tx1 + (1-t)x2) \le tf(x1) + (1-t)f(x2)</tex>.

O proprietate importanta a functiilor convexe este ca au doar un minim local care este si global. Astfel problema *minimizarii valorii unei functii* este mai simplu de rezolvat pentru functii convexe.
In *machine learning* apare frecvent aceasta problema. Functiile generale nu sunt usor de minimizat. Nu au o forma care poate fi rezolvata matematic sau sunt neregulate si au multe optime locale. Pentru a putea obtine solutii bune, de multe ori functiile generale sunt aproximate sau marginite de functii convexe pentru care exista algoritmi eficienti de minimizare, cum ar fi 'cautare ternara':http://en.wikipedia.org/wiki/Ternary_search pentru cazul unidimensional sau 'gradient descent':http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent pentru cazul general.

Suma a doua functii convexe este tot o functie convexa.
_demonstratie:_

<tex>f1(tx1 + (1-t)x2) <= tf1(x1) + (1-t)f1(x2)</tex>
<tex>f2(tx1 + (1-t)x2) <= tf2(x1) + (1-t)f2(x2)</tex>

<tex>f1(tx1 + (1-t)x2)\le tf1(x1) + (1-t)f1(x2)</tex>
<tex>f2(tx1 + (1-t)x2) \le tf2(x1) + (1-t)f2(x2)</tex>

=>

<tex>f1(tx1 + (1-t)x2) + f2(tx1 + (1-t)x2) <= t(f1(x1) + f2(x1)) + (1-t)(f1(x2) + f2(x2))</tex>

<tex>f1(tx1 + (1-t)x2) + f2(tx1 + (1-t)x2) \le t(f1(x1) + f2(x1)) + (1-t)(f1(x2) + f2(x2))</tex>

Astfel <tex>2dist(M, A) + dist(M, B) + dist(M, C)</tex> e si ea o functie convexa.