!{margin: 1px; margin-right: 10px; border: 1px solid gray;}<blog/suma-in-triunghi-rezolvare?graph.gif!
*Rezolvarea mai detaliata:*

Functia distanta euclidiana e o functie strict convexa. E simplu de demonstrat ca suma a doua functii convexe e tot o functie convexa. De aici rezulta ca 2dist(M, A) + dist(M, B) + dist(M, C) e si ea o functie convexa.
Maximul pentru o functie convexa e realizat pe marginea domeniului de definitie. Asta e usor de vazut mai ales pentru functii unidimensionale cum ar fi parabolele.
Astfel e deajuns sa ne uitam la valoarea functiei in punctele A, B si C. Obtinem ca C e punctul cautat.

Functia distanta euclidiana e o functie convexa.
demonstratie:
Vedem usor din grafic, sau putem incerca sa ne uitam la derivate.

Am facut un grafic folosind 'Octave':http://www.gnu.org/software/octave/ unde punctele A, B si C au coordonatele (0, 0), (3, 0) respectiv (0, 4), iar culoarea graficului reprezinta suma ceruta in problema.

Suma a doua functii convexe este tot o functie convexa.
 
demonstratie:
f1(tx1 + (1-t)x2) <= tf1(x1) + (1-t)f1(x2)
f2(tx1 + (1-t)x2) <= tf2(x1) + (1-t)f2(x2)
=>
f1(tx1 + (1-t)x2) + f1(tx1 + (1-t)x2) <= t(f1(x1) + f2(x1)) + (1-t)(f1(x2) + f2(x2))
Astfel 2dist(M, A) + dist(M, B) + dist(M, C) e si ea o functie convexa.
 
Maximul pentru o functie convexa e realizat pe marginea domeniului de definitie.
demonstratie:
Din definitie, graficul intre x1 si x2 se afla sub segmentul determinat de (x1, f(x1)) si (x2, f(x2)) astfel pentru x1 si x2 pe contur unul dintre cele doua puncte va fi mai sus decat toate restul din grafic.
 
Acum am demonstrat toti pasii din prima propozitie a articolului.
 
Am mai facut un grafic folosind 'Octave':http://www.gnu.org/software/octave/ unde punctele A, B si C au coordonatele (0, 0), (3, 0) respectiv (0, 4), iar culoarea graficului reprezinta suma ceruta in problema.

Aveti aici codul cu care am generat.
== code(c) |