!{margin: 10px; margin-right: 5; border: 1px solid gray;}<blog/suma-in-triunghi-rezolvare?graph.gif!
Sa revenim la problema noastra:

E simplu de demonstrat ca suma a doua functii convexe e tot o functie convexa. Maximul pentru o functie convexa e realizat pe marginea domeniului de definitie. Asta e usor de vazut mai ales pentru functii unidimensionale cum ar fi parabolele.

E simplu de demonstrat ca suma a doua functii convexe e tot o functie convexa. O proprietate utila pentru problema noastra este ca ca maximul pentru o functie convexa e realizat pe marginea domeniului de definitie. Asta e usor de vazut mai ales pentru functii unidimensionale cum ar fi parabolele.

Functia distanta euclidiana e o functie strict convexa si o combinatia din problema 2dist(M, A) + dist(M, B) + dist(M, C) este si ea o functie convexa. Si cum maximul pentru functii de genul asta e realizat in capete, ne e deajuns sa ne uitam la valoarea functiei in punctele A, B si C. Astfel vedem ca C e punctul cautat.