Probleme de formula

Cosmin Negruseri
27 aprilie 2008

Nu imi plac acest tip de probleme! Un motiv ar fi lipsa lor de originalitate, e foarte probabil ca problema a fost luata din o carte de matematica. Alt motiv ar fi ca nu testeaza partea de programare, de obicei programele ce rezolva problemele astea sunt foarte simple implicand doar o instructiune de scriere si una de citire (cateodata mai ai nevoie sa si implementezi numere mari dar cam atat). Al treilea motiv e ca nu departajeaza elevii intre ei dupa valoarea sau ideile lor, ci mai mult randomizeaza rezultatele, pentru ca unele formule sunt foarte greu de gasit pe cale matematica, dar sunt mai usor de ghicit.

Pentru a gasi formula ce ne rezolva problema, ne uitam la cateva rezultate mici si sa incercam sa ghicim cum arata formula ce le genereaza. O metoda banala ar fi sa variem fiecare parametru de intrare si sa vedem cum se modifica numarul cautat.

In problema mea aladdin2 , se cere numarul de colorari ale celulelor unei table nxm cu alb sau negru, astfel ca orice patrat de 2×2 sa aiba exact doua patrate colorate alb si doua colorate negru. Formula e banala 2ⁿ + 2^m - 2 si se observa imediat cu variarea dimensiunilor.

In alta problema la un baraj se cerea determinarea numarului de arbori partiali ai unui graf bipartit complet cu n noduri in o partitie si m noduri in cealalta partitie. Credeti ca era greu sa va prindeti de formula n^n-1 * m^m-1 , fara decuce rezolvarea care foloseste codul prufer ?

Adi Carcu imi zicea ca in 99 ca au inceput sa se dea probleme la barajele de anul respectiv pentru care rezultatul era o combinare. La a doua astfel de problema, multi dintre concurenti au generat triunghiul lui Pascal si au cautat rezultatele din exemplu in el. Astfel ei au rezolvat o problema de dificultate medie in cateva minute.

Alta problema interesanta e determinarea numarului de permutari fara puncte fixe. Problema are o solutie draguta folosind programare dinamica, dar rezultatul e foarte apropiat de n!/e si astfel prin variarea dimensiunii intrarii poti sa rezolvi problema foarte repede.

In 2006 s-a dat la lot determinarea numarului de acoperiri cu dominouri a unui diamant aztec (http://mathworld.wolfram.com/AztecDiamond.html). Formula e foarte simpla 2^n(n+1)/2. Dar demonstratia solutiei e foarte complicata, ea implica folosirea de permanenti apoi transformarea lor in determinanti folosind numere complexe. Probabil nici baietii din lotul national de matematica nu s-ar descurca cu o problema de genul asta. Surprinzator, mare parte din concurentii de la concursul respectiv au rezolvat-o perfect. Unul dintre cei care nu a rezolvat-o, a fost Adrian Vladu, care in loc sa incerce sa ghiceasca formula, a incercat sa gaseasca rezolvarea matematica. Inca imi pare rau ca am fost in comisie si nu m-am uitat mai atent pe problema respectiva pentru ca o vazusem inainte in faza de documentare pentru articolele mele cu probleme de acoperire si stiam ca nu poate fi rezolvata decat prin ghicirea rezultatului.

Cand participi la un concurs online te poti uita pe Online encyclopedia of integer sequences Am folosit siteul asta pentru cateva probleme de la concursurile topcoder, si pentru o problema la Oni by Net. Sau poti sa cauti rezultatele pe Google :).

Radu Stefan a folosit o metoda destul de misto pentru a rezolva urmatoarea problema:

Se cere sa se numere in cate moduri se pot aseza k regi pe tabla de sah de n x n astfel incat regii sa nu se atace.

Radu s-a gandit ca solutia va fi un polinom in doua variabile P(n, k), iar gradul polinomului nu va fi prea mare (parca el a presupus ca limita e 6). Astfel a generat folosind metoda backtracking solutiile pentru n <= 6 si k <= 6. A considerat coeficientii polinomului ca necunoscute si a rezolvat sistemul de ecuatii liniare date P(n, k) si valorile obtinute prin algoritmul backtracking. Astfel luat punctaj maxim pe problema respectiva.

Trucul asta se aplica usor pe alte probleme, trebuie doar sa stiti sa folositi metoda de rezolvare a sistemelor liniare.

Pentru polinoame intr-o singura variabila puteti sa folositi metoda diferentelor divizate care e foarte simpla de implementat.

Daca formula e ceva mai complicata decat un polinom, putem sa speram ca sirul solutiilor e caracterizat de o recurenta liniara, si astfel putem folosi din nou rezolvarea de sisteme de ecuatii lineare pentru a afla coeficientii recurentei.

Sper ca am aratat ca propunerea unei probleme de formula este o idee foarte proasta! Si chiar daca va confruntati cu una veti putea sa o rezolvati rapid folosind micile trucuri expuse mai sus.

In rest Paste Fericit si Bafta la ONI!