Creearea unei probleme pentru un concurs de programare nu e o munca usoara. De aceea nu ma surprinde cand vad ca la un concurs apare printre probleme una de formula. Totusi nu imi place cand se da o asemenea problema. Un motiv ar fi lipsa de originalitate, e foarte probabil ca problema a fost luata din o carte de matematica. Alt motiv ar fi ca nu testeaza partea de programare la olimpiada de informatica, de obicei programele ce rezolva problemele astea sunt foarte simple implicand doar o instructiune de scriere si una de citire. Cateodata mai ai nevoie sa si implementezi numere mari dar cam atat. Al treilea motiv e ca nu departajeaza elevii intre ei dupa valoarea sau ideile lor, ci mai mult randomizeaza rezultatele, pentru ca unele formule sunt foarte greu de gasit pe cale matematica, dar sunt mai usor de ghicit.
Nu imi plac problemele "de formula"! Acestea sunt problemele de natura matematica din concursurile de programare, care ,de obicei, cer numararea unor configuratii si au ca raspuns o formula. Un motiv este lipsa de originalitate; e foarte probabil ca problema sa fi fost luata dintr-o carte de matematica. Alt motiv este ca nu testeaza partea de programare; de obicei programele ce rezolva astfel de probleme sunt usor de implementat (cateodata mai ai nevoie de numere mari...). Al treilea motiv e ca nu departajeaza elevii dupa valoarea sau ideile lor, ci mai mult "randomizeaza" rezultatele; unele formule sunt foarte greu de gasit pe cale matematica, dar sunt mai usor de ghicit.
Sa vedem acum cum gasim formula pentru o problema. Ideea e sa ne uitam la cateva rezultate mici si sa incercam sa ghicim cum arata formula ce le genereaza. Daca e un concurs online ne putem uita imediat pe 'Online encyclopedia of integer sequences':http://www.research.att.com/~njas/sequences/
Pentru a gasi formula de rezolvare, putem sa ne uitam la cateva rezultate mici si sa incercam sa ghicim cum arata formula ce le genereaza. O metoda banala ar fi sa variem fiecare parametru de intrare si sa vedem cum se modifica numarul cautat.
In problema mea 'aladdin2':problema/aladdin2, se cere _numarul de colorari al celulelor unei table n X m cu alb sau negru astfel ca orice patrat de dimensiune 2x2 sa aiba exact doua patrate colorate alb si doua colorate negru_. Formula e banala $2^n^ + 2^m^ - 2$ si se observa imediat cu variarea dimensiunilor.
Intr-o alta prolema data la un baraj se cerea _afisarea numarului de arbori partiali ai unui graf bipartit complet cu n noduri de o parte si m noduri de cealalta_. E mult mai simplu sa ghiciti de formula $n^n-1^ * m^m-1^$ decat sa mergeti pe calea rezolvarii oficiale care deduce formula prin folosirea 'codului Prufer':http://en.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%BCfer_sequence
Adi Carcu imi zicea ca in '99 au inceput sa se dea probleme la baraj pentru care rezultatul era o combinare. La a doua problema de genul asta, multi dintre concurenti au generat triunghiul lui Pascal si au cautat rezultatele din exemplu in el. Astfel ei au rezolvat o problema de dificultate medie in cateva minute.
Alta problema interesanta e determinarea _numarului de permutari fara puncte fixe_. Problema are o solutie draguta folosind programare dinamica. Totusi poate fi rezolvata altfel urmand schimbarea rezultatului o data cu variarea lui $n$, si se observa destul de usor ca poate fi folosita formula $[n!/e + 1]$.
In 2006 s-a dat la lot determinarea 'numarului de acoperiri cu dominouri a unui diamant aztec':http://mathworld.wolfram.com/AztecDiamond.html. Formula e foarte simpla $2^n(n+1)/2^$ insa demonstratia solutiei e foarte complicata - implica folosirea de permanenti apoi transformarea lor in determinanti folosind numere complexe. Probabil nici baietii din lotul national de matematica nu s-ar descurca cu o problema de genul asta. Surprinzator, mare parte din concurentii de la concursul respectiv au rezolvat-o perfect. Unul dintre cei care nu a rezolvat-o, a fost Adrian Vladu, care, in loc sa incerce sa ghiceasca formula, a incercat sa gaseasca rezolvarea matematica. Eu vazusem problema in faza de documentare pentru articolele mele cu 'probleme de acoperire':implica-te/scrie-articole. Stiam ca nu poate fi rezolvata decat prin ghicirea rezultatului. De aceea inca imi pare rau ca am fost in comisie si problema a fost folosita in concurs.
Cand participi la un concurs online te poti uita pe 'Online encyclopedia of integer sequences':http://www.research.att.com/~njas/sequences/ Am folosit siteul asta pentru cateva probleme de la concursurile topcoder, si pentru o problema la Oni by Net. Sau poti sa cauti rezultatele pe Google :).
Radu Stefan a folosit o metoda destul de misto pentru a rezolva urmatoarea problema:
_Se cere sa se numere in cate moduri se pot aseza k regi pe tabla de sah de n x n astfel incat regii sa nu se atace._
Radu s-a gandit ca solutia va fi un polinom in doua variabile $P(n, k)$, iar gradul polinomului nu va fi prea mare (parca el a presupus ca limita e 6). Astfel a generat folosind metoda backtracking solutiile pentru $n <= 6$ si $k <= 6$. A considerat coeficientii polinomului ca necunoscute si a rezolvat sistemul de ecuatii liniare date $P(n, k)$ si valorile obtinute prin algoritmul backtracking. Astfel luat punctaj maxim pe problema respectiva.
Problema patrat(lot 2005), cerea _determinarea numarului de patrate magice de dimensiune 3x3 unde suma elementelor de pe linii, coloane si diagonale este $N$_. Solutia este un polinomul de gradul 4. Fie el $P(X) = aX^4^ + bX^3^ + cX^2^ + dX + e$. Numim $V{~1~}, V{~2~}, V{~3~}, V{~4~} si V{~5~}$ numarul de solutii pentru $N = 1, ..., 5$. Acum sistemul de care vorbeam mai sus va arata asa:
$a + b + c + d + e = V{~1~}$
$16a + 8b + 4c + 2d + e = V{~2~}$
$81a + 27b + 9c + 3d + e = V{~3~}$
$256a + 64b + 16c + 4d + e = V{~4~}$
$625a + 125b + 25c + 5d + e = V{~5~}$
Pentru polinoame intr-o singura variabila mai puteti folosi metoda 'diferentelor divizate':http://en.wikipedia.org/wiki/Divided_differences#Forward_differences care are o implementare foarte simpla.
Daca formula e ceva mai complicata decat un polinom, putem sa speram ca sirul solutiilor e caracterizat de o recurenta liniara, si astfel putem folosi din nou rezolvarea de sisteme de ecuatii lineare pentru a afla coeficientii recurentei.
Sper ca am aratat ca propunerea unei *probleme de formula* este o idee *foarte proasta*! Si chiar daca va confruntati cu una veti putea sa o rezolvati rapid folosind micile trucuri expuse mai sus. Chiar daca si eu am propus o problema de formula, sper ca ele vor disparea din concursurile importante gen ONI, baraje si LOT.
In rest Paste Fericit si Bafta la ONI!
