Probleme "de formula"

Nu imi plac problemele "de formula"! Acestea sunt problemele de natura matematica din concursurile de programare, care ,de obicei, cer numararea unor configuratii si au ca raspuns o formula. Un motiv este lipsa de originalitate; e foarte probabil ca problema sa fi fost luata dintr-o carte de matematica. Alt motiv este ca nu testeaza partea de programare; de obicei programele ce rezolva astfel de probleme sunt usor de implementat (cateodata mai ai nevoie de numere mari...). Al treilea motiv e ca nu departajeaza elevii dupa valoarea sau ideile lor, ci mai mult "randomizeaza" rezultatele; unele formule sunt foarte greu de gasit pe cale matematica, dar sunt mai usor de ghicit.

Pentru a gasi formula de rezolvare, putem sa ne uitam la cateva rezultate mici si sa incercam sa ghicim cum arata formula ce le genereaza. O metoda banala ar fi sa variem fiecare parametru de intrare si sa vedem cum se modifica numarul cautat.

In problema mea aladdin2, se cere numarul de colorari al celulelor unei table n X m cu alb sau negru astfel ca orice patrat de dimensiune 2×2 sa aiba exact doua patrate colorate alb si doua colorate negru. Formula e banala 2ⁿ + 2^m - 2 si se observa imediat cu variarea dimensiunilor.

Intr-o alta prolema data la un baraj se cerea afisarea numarului de arbori partiali ai unui graf bipartit complet cu n noduri de o parte si m noduri de cealalta. E mult mai simplu sa ghiciti de formula n^n-1 * m^m-1 decat sa mergeti pe calea rezolvarii oficiale care deduce formula prin folosirea codului Prufer

Adi Carcu imi zicea ca in '99 au inceput sa se dea probleme la baraj pentru care rezultatul era o combinare. La a doua problema de genul asta, multi dintre concurenti au generat triunghiul lui Pascal si au cautat rezultatele din exemplu in el. Astfel ei au rezolvat o problema de dificultate medie in cateva minute.

Alta problema interesanta e determinarea numarului de permutari fara puncte fixe. Problema are o solutie draguta folosind programare dinamica. Totusi poate fi rezolvata altfel urmand schimbarea rezultatului o data cu variarea lui n, si se observa destul de usor ca poate fi folosita formula [n!/e + 1].

In 2006 s-a dat la lot determinarea numarului de acoperiri cu dominouri a unui diamant aztec. Formula e foarte simpla 2^n(n+1)/2 insa demonstratia solutiei e foarte complicata - implica folosirea de permanenti apoi transformarea lor in determinanti folosind numere complexe. Probabil nici baietii din lotul national de matematica nu s-ar descurca cu o problema de genul asta. Surprinzator, mare parte din concurentii de la concursul respectiv au rezolvat-o perfect. Unul dintre cei care nu a rezolvat-o, a fost Adrian Vladu, care, in loc sa incerce sa ghiceasca formula, a incercat sa gaseasca rezolvarea matematica. Eu vazusem problema in faza de documentare pentru articolele mele cu probleme de acoperire. Stiam ca nu poate fi rezolvata decat prin ghicirea rezultatului. De aceea inca imi pare rau ca am fost in comisie si problema a fost folosita in concurs.

Cand participi la un concurs online te poti uita pe Online encyclopedia of integer sequences Am folosit siteul asta pentru cateva probleme de la concursurile topcoder, si pentru o problema la Oni by Net. Sau poti sa cauti rezultatele pe Google :).

Radu Stefan a folosit o metoda destul de misto pentru a rezolva urmatoarea problema:

Se cere sa se numere in cate moduri se pot aseza k regi pe tabla de sah de n x n astfel incat regii sa nu se atace.

Radu s-a gandit ca solutia va fi un polinom in doua variabile P(n, k), iar gradul polinomului nu va fi prea mare (parca el a presupus ca limita e 6). Astfel a generat folosind metoda backtracking solutiile pentru n <= 6 si k <= 6. A considerat coeficientii polinomului ca necunoscute si a rezolvat sistemul de ecuatii liniare date P(n, k) si valorile obtinute prin algoritmul backtracking. Astfel luat punctaj maxim pe problema respectiva.

Problema patrat(lot 2005), cerea determinarea numarului de patrate magice de dimensiune 3×3 unde suma elementelor de pe linii, coloane si diagonale este N. Solutia este un polinomul de gradul 4. Fie el P(X) = aX⁴ + bX³ + cX² + dX + e. Numim V₁, V₂, V₃, V₄ si V₅ numarul de solutii pentru N = 1, ..., 5. Acum sistemul de care vorbeam mai sus va arata asa:

a + b + c + d + e = V₁
16a + 8b + 4c + 2d + e = V₂
81a + 27b + 9c + 3d + e = V₃
256a + 64b + 16c + 4d + e = V₄
625a + 125b + 25c + 5d + e = V₅

Pentru polinoame intr-o singura variabila mai puteti folosi metoda diferentelor divizate care are o implementare foarte simpla.

Daca formula e ceva mai complicata decat un polinom, putem sa speram ca sirul solutiilor e caracterizat de o recurenta liniara, si astfel putem folosi din nou rezolvarea de sisteme de ecuatii lineare pentru a afla coeficientii recurentei.

Sper ca am aratat ca propunerea unei probleme de formula este o idee foarte proasta! Si chiar daca va confruntati cu una veti putea sa o rezolvati rapid folosind micile trucuri expuse mai sus. Chiar daca si eu am propus o problema de formula, sper ca ele vor disparea din concursurile importante gen ONI, baraje si LOT.

In rest Paste Fericit si Bafta la ONI!