Cautarea ta binara este gresita

Cosmin Negruseri
07 ianuarie 2012

Cautarea binara este printre primii algorimi divide and conquer studiati la informatica. Algoritmul rezolva problema gasirii unui element x in un sir sortat A folosind monotonia elementelor pentru a injumatati la fiecare pas spatiul de cautare. Ideea algoritmului e simpla, insa aproape fiecare concurent olimpiada de informatica are cate o poveste cum a pierdut puncte la o problema din cauza implementarii. Majoritatea studentilor de informatica si chiar doctoranzilor, dupa cum ne spune Jon Bentley in Programming Pearls, nu reusesc sa scrie o cautare binara fara probleme.

Implementarile pot avea multe buguri in zone cum ar fi:

intrare ciclu infinit
conditii gresite de terminare
siruri scurte de lungime 0, 1, 2
siruri in care x nu exista sau x apare de mai multe ori
siruri in care x apare in apropiere de inceput sau final

Optimizari premature
Am vazut tot felul de variante, de exemplu unii testeaza daca a[mid] e egal cu x si scurt circuiteaza cautarea. Aceasta optimizare nu ajuta in cazul general, doar complica codul. Alta varianta e sa reduci mai mult problema folosind hi = mid - 1 sau lo = mid + 1. Optimizarea e mica si adauga un pas logic in plus la care trebuie sa fii atent. Cazurile la una din marginile sirului pot deveni mai dificile sau putem avea probleme de genul hi devine mai mic decat lo.

Multe implementari sunt "blindate" ca să evite bug-urile de mai sus. Problema e că lumea le blindează cu cod duplicat si error prone, repetand conditii.

Variante ale problemei
Exista versiuni diferite cum ar fi gasirea primei sau ultimei aparitii a lui x in sirul sortat, gasirea predecesorului sau succesorului valorii x in sir.

O solutie isteata folosita de membrii infoarena utilizeaza puterile lui 2.

int binary_search(int[] A, int x) {
  int i, step, N = A.length;
  for (step = 1; step < N; step <<= 1);
  for (i = 0; step; step >>= 1)
    if (i + step < N && A[i + step] <= x)
    i += step;
  if (A[i] == x) 
    return i;
  else
    return -1;
}

Aceasta varianta de implementare este eleganta insa mie nu imi place foarte tare. Dezavantajul principal este lizibilitatea codului.

Cum implementezi simplu, corect, clar si flexibil o cautare binara

Folosim un invariant in bucla cautarii binare, adica o asertiune care e adevarata de fiecare data cand intram in bucla. Pentru cazul nostru acest invariant e ca lo indica spre un element care e mai mic ca x sau spre -1 si hi indica spre un element mai mare sau egal cu x sau spre A.length. Pe scurt $A[lo] < x \le A[hi]$ (consideram $A[-1] = -\infty$ si $A[A.length] = +\infty$ )

Sa vedem cum arata codul:

int binary_search(int[] A, int x) {
    int hi = A.length, lo = -1, mid;
    while (hi - lo > 1) {
      mid = (lo + hi) / 2;
      if (A[mid] < x)
        lo = mid;
       else
         hi = mid;
    }
    if (hi == A.length || A[hi] != x)
        return -1;
    else
        return hi;
}

linia 2: setam pe hi si lo inafara sirului, astfel invariantul e indeplinit si nu trebuie sa tratam cazuri speciale.
linia 3: conditia de continuare a buclei e hi - lo > 1. Invariantul ales face ca hi si lo sa fie tot timpul distincte. La fiecare pas distanta intre hi si lo se injumatateste, iar cand hi si lo ajung consecutive ca pozitii in sir putem lua o decizie.
linia 4: mid va fi tot timpul intre lo si hi.
linia 6: stim ca A[mid] < x si astfel facand atribuirea lo = mid micsoram spatiu de cautare si pastram invariantul
la linia 8 stim ca A[mid] >= x si putem face atribuirea hi = mid.
la linia 10 vedem daca x e in sir
- in caz afirmativ putem sa returnam indexul hi
- un caz negativ e cand ultimul element din sir e mai mic decat x. Atunci avem lo = A.length - 1 si hi = A.length
- celalalt caz negativ e ca hi sa fie undeva in interiorul sirului si sa avem ca A[lo] < x < A[hi]

Am scapat de greselile ce le mentionam mai sus, pentru ca invariantul ne demonstreaza corectitudinea algoritmului nostru.
Ideea e foarte flexibila, putem schimba usor invariantul pentru a aborda variantele problemei mentionate. De exemplu pentru a gasi ultima pozitie din sir mai mica decat x putem folosi invariantul $A[lo] \le x < A[hi]$

Aceasta abordarea este detaliata in cartea Programming Pearls de Jon Bentley pe care v-o recomand.

Linkbaitul din titlu :)
Daca nu v-am convins de afirmatia din titlu, va mai zic ca, in 2006, Joshua Bloch, cel care a scris algoritmul de cautare binara in java.util.Arrays, a descoperit un bug in implementare. Acest bug aparea in majoritatea cautarilor binare sau a sortarilor prin interclasare scrise in ultimii 20 de ani. Lucrand la Google el a ajuns sa sorteze siruri de doua miliarde de numere. La pasul mid = (lo + hi) / 2 s-a depasit Integer.MAX_VALUE care e 2147483647 si codul a declansat o exceptie. Putem rezolva bugul folosind $mid = lo + (hi - lo) / 2$ in loc de $mid = (hi + lo) / 2$ .

Stiu ca “You can’t teach an old dog new tricks” dar sper ca v-am convins de utilitatea invariantilor.

Despre cautare binara pe numere reale sau metoda bisectiei in episodul urmator :).

Intrebari: Voi ati avut vreodata probleme cu cautarile binare? Ce varianta folositi?

Categorii:

remote content

infoarena informatica de performanta

Ultimele insemnari

Categorii

Blogroll

Cautarea ta binara este gresita