h3. problema grea, clasele 11-12

	Vom calcula $P[i, j]$ = numarul de permutari ale multimii {{$1$},{$2$},..,{$i$}} care respecta primele $i-1$ relatii ale sirului de relatii si in care ultimul numar al permutarii este numarul $j$. In mod evident, rezultatul dorit va fi dat de suma $P[N, 1]$+$P[N, 2]$+...+$P[N, N]$.

	Vom calcula $P[i, j]$ = numarul de permutari ale multimii {{$1$},{$2$},..,{$i$}} care respecta primele $i-1$ relatii ale sirului de relatii si in care ultimul numar al permutarii este numarul $j$. In mod evident, rezultatul dorit va fi dat de suma $P[N, 1]$ + $P[N, 2]$ + ... + $P[N, N]$.

	Pentru calculul lui $P[i, j]$ vom observa ca, eliminand numarul $j$ din permutare, obtinem $i-1$ numere distincte care pot fi renumerotate pentru a forma o permutare a multimii {{$1$},{$2$},..,{$i-1$}}. Mai exact, orice numar $x$ mai mare decat $j$ este renumerotat cu valoarea $x-1$. In conditiile acestei renumerotari, avem urmatoarele $2$ cazuri:

* daca relatia $i-1$ este "$<$", atunci $P[i, j]$ = $P[i-1, 1]$+$P[i-1, 2]$+ ...+$P[i-1, j-1]$
* daca relatia $i-1$ este "$>$", atunci $P[i, j]$ = $P[i-1, j]$+$P[i-1, j+1]$+...+$P[i-1, i-1]$

* daca relatia $i-1$ este "$<$", atunci $P[i, j]$ = $P[i-1, 1]$ + $P[i-1, 2]$ + ... + $P[i-1, j-1]$
* daca relatia $i-1$ este "$>$", atunci $P[i, j]$ = $P[i-1, j]$ + $P[i-1, j+1]$ +... + $P[i-1, i-1]$

Cazul "de baza" este $P[1, 1]$ = $1$. Relatiile date sunt corecte, deoarece pentru orice permutare ce corespunde lui $P[i-1, x]$ se poate aplica operatia de renumerotare inversa (relativ la $j$), obtinand un sir de $i-1$ numere distincte din multimea {{$1$},{$2$},..,{$i$}}\{{$j$}} care respecta primele $i-2$ relatii. La sfarsitul acestui sir se poate adauga numarul $j$, obtinand o permutare cu $i$ elemente care respecta primele $i-1$ relatii.

	Implementarea imediata a relatiilor de recurenta mentionate se poate realiza foarte usor in complexitate O({$N^3^$}). Memorand sumele partiale $SP[x]$ = $P[i-1, 1]$+$P[i-1, 2]$+...+ $P[i-1, x]$ putem calcula $P[i, j]$ in timp O({$1$}), reducand complexitatea la O({$N^2^$}).

	Implementarea imediata a relatiilor de recurenta mentionate se poate realiza foarte usor in complexitate O({$N^3^$}). Memorand sumele partiale $SP[x]$ = $P[i-1, 1]$ + $P[i-1, 2]$ + ... +  $P[i-1, x]$ putem calcula $P[i, j]$ in timp O({$1$}), reducand complexitatea la O({$N^2^$}).