Heavy path decomposition

(Categoria Algoritmi, autor Marius Stroe)

Acest articol prezinta un studiu al unei probleme ce urmareste determinarea eficienta a unei valori de extrem aflata pe lantul elementar dintre doua noduri date dintr-un arbore. Mentionez ca lant va insemna intotdeauna lant elementar in acest articol.

Enunt

In continuare voi prezenta enuntul unui tip de problema ce a aparut la multe dintre concursurile de informatica. Motivul pentru care am ales acest lucru este unii participanti pot fi tentati sa incerce sa adapteze rezolvarea acesteia la rezolvarea problemei ce necesita heavy path decomposition. Lucru ce nu este posibil, pierzand astfel timp pretios. Iata enuntul:

Fie G = (V, E) un graf neorientat conex, |E| = |V| - 1. Vom considera ca fiecare nod x ∈ V are asociata o valoare value[x] din multimea numerelor reale. Se dau M instructiuni, M <= 200000, de doua tipuri : primul tip cere sa se afiseze suma valorilor tuturor nodurilor ce se afla pe lantul dintre x, y ∈ V (practic, daca P = (x₀,x₁, x₂, ..., x_n), x₀ = x si x_n = y, este lantul ce uneste cele doua noduri, atunci se cere Δ = ∑ value[i], u ∈ P), iar al doilea tip modifica valoarea atasata unui nod.

Solutia O((M+N)log(N))

Solutia se foloseste de o tehnica numita liniarizarea arborelui. Aceasta presupune o parcurgere in adancime si retinerea unor informatii necesare pentru interogare si actualizare: seq[], firstPos[], lastPos[]. Iata pseudocodul acestei parcurgeri :

PARCURGE(x)
    seq_len ++;
    seq[seq_len] = value[x];
    firstPos[x] = seq_len;
    pentru fiecare fiu y al lui x executa
        apeleaza recursiv pentru y;
    sfarsit pentru
    seq_len ++;
    seq[seq_len] = -value[x];
    lastPos[x] = seq_len;

Fig. 1: Pentru arborele din figura alatura si vectorul de valori value[] = {3, 5, 7, 1, 2, 4}, seq[] construit este ilustrat mai jos. Se observa usor ca tot subarborele unui nod se anuleaza cand este explorat in intregime.

Astfel, s-a construit vectorul seq[] care are urmatoarea proprietate : "daca Δ = ∑ seq[i], firstPos[x] <= i <= firstPos[y], x fiind un stramos al lui y, atunci Δ reprezinta ∑ value[u], u ∈ P, P = (x₀, x₁, x₂, ..., x_n), x₀ = x si x_n = y". Conform acesteia, daca vom determina cel mai apropiat stramos comun dintre doua noduri, atunci nu va fi nevoie decat de un cost cat mai mic pentru calcularea eficienta a sumei pe un interval si modificarea unei valori din acest vector seq[]. Cu ajutorul structurii de date numita arbori de intervale putem obtine costul O(log(N)) pe fiecare din cele doua operatii. Pentru determinarea eficienta a celui mai apropiat stramos comun consultati bibliografia.