h2. Enunt

In continuare voi prezenta enuntul unui tip de problema ce a aparut la multe dintre concursurile de informatica. Motivul pentru care am ales acest lucru este unii participanti pot fi tentati sa incerce sa adapteze rezolvarea acesteia la rezolvarea problemei ce necesita _heavy path decomposition_. Lucru ce nu este posibil, pierzand astfel timp pretios. Iata enuntul:

In continuare voi prezenta enuntul unui tip de problema ce a aparut la multe dintre concursurile de informatica. Motivul pentru care am ales acest lucru este ca unii participanti pot fi tentati sa incerce sa adapteze rezolvarea acesteia la rezolvarea problemei ce necesita _heavy path decomposition_. Lucru ce nu este posibil, pierzand astfel timp pretios. Iata enuntul:

Fie $G = (V, E)$ un graf neorientat conex, $|E| = |V| - 1$. Vom considera ca fiecare nod $x &#8712; V$ are asociata o valoare $value[x]$ din multimea numerelor reale. Se dau $M$ instructiuni, $M <= 200000$, de doua tipuri : primul tip cere sa se afiseze suma valorilor tuturor nodurilor ce se afla pe lantul dintre $x, y &#8712; V$ (practic, daca $P = (x{~0~},x{~1~}, x{~2~}, ..., x{~n~}), x{~0~} = x si x{~n~} = y$, este lantul ce uneste cele doua noduri, atunci se cere $&#916; = &#8721; value[u]$, $u &#8712; P$), iar al doilea tip modifica valoarea atasata unui nod.

h2. Enunt
Acum ne vom concentra asupra intrebarii initiale, de determinare a valorii de maxim/minim. Enuntul este urmatorul:

Fie $G = (V, E)$ un graf neorientat conex, $|E| = |V| - 1$. Vom considera, bineinteles, ca fiecare nod $x &#8712; V$ are asociata o valoare $value[x]$ din multimea numerelor reale. Se dau $M$ instructiuni, $M <= 200000$, de doua tipuri : primul tip cere sa se scrie maximul dintre valorile nodurilor ce se afla pe lantul dintre $x, y &#8712; V$ (daca $P = (x{~0~},x{~1~}, x{~2~}, ..., x{~n~}), x{~0~} = x si x{~n~} = y$,  atunci se cere $&#916; = Maxim {value[u] | u &#8712; P}$), iar al doilea tip modifica valoarea asociata unui nod.
h2. Solutia $O(M*N)$

Sunt o multitudine de solutii simple ce ne pot trece prin minte. Pentru cea aleasa de mine voi retine un vector $parent[]$ semnificand parintele unui nod calculat printr-un breath-search, si $depth[]$ ce arata adancimea, adica numarul de muchii de la radacina pana la nodul interogat. Cu ajutorul lor, urmatorul pseudocod rezolva primul tip de cerinta:

Sunt o multitudine de solutii simple ce ne pot trece prin minte. Pentru cea aleasa de mine voi retine un vector $parent[]$ semnificand parintele unui nod calculat printr-un depth-search, si $depth[]$ ce retine adancimea, adica numarul de muchii de la radacina pana la nodul interogat. Cu ajutorul lor, urmatorul pseudocod rezolva primul tip de cerinta:

== code(c) |
QUERY(x, y)

h2. Solutia $O(M*log^2^(N))$

Voi prezenta intr-un mod indirect cum se ajunge la aceasta complexitate, intrucat exista o solutie relativ asemanatoare celei pe care mi-am propus sa o prezint, insa nu la fel de rapida, numita _longest path decomposition_.

Voi prezenta intr-un mod indirect cum se ajunge la aceasta complexitate, intrucat exista o solutie relativ asemanatoare celei pe care mi-am propus sa o prezint, insa nu la fel de rapida, numita _longest path decomposition_.
 
Tehnica liniarizarii arborelui nu poate functiona, deoarece informatiile ce le putem retine nu ne pot permite sa obtinem o complexitate mai buna.
 
Insa, cu _longest path_decomposition_, tehnica ce necesita cunostine minime despre grafuri, vom obtine complexitatea $O(M*sqrt(N)*log(N))$ urmand pasii de mai jos:
 
# Elimina cel mai lung lant radacina-frunza din arbore si apeleaza recursiv pentru restul componentelor conexe ;
# Retine fiecare lant ca un vector $Path[].array[]$ cu noduri ordonate crescator dupa adancime si pastreaza un pointer catre nodul din lantul sau parinte $Path[].parent$;
# Pentru fiecare nod retine lantul caruia apartine $whatPath[]$ si pozitia in vectorul lantului $whatPos[]$.
 
Este evident ca memoria ocupata este $O(N)$, fiecare nod fiind inclus intr-un singur lant. Numarul maxim de lanturi prin care putem trece pornind din radacina pana intr-una din frunze, este $O(sqrt(N))$.