Revizia anterioară Revizia următoare
Treap-uri
În acest articol voi prezenta o alternativă pentru arborii binari de căutare echilibraţi, precum AVL, Red-Black Trees, Splay Trees şi B-Trees.
Ce este un Treap?
Treapul este un arbore binar în care fiecare nod conţine două informaţii:
- cheie;
- prioritate
Structura de date respectă doi invarianţi:
- dacă parcurgem arborele în inordine, atunci vom obţine nodurile sortate (invariantul arborilor de căutare)
- prioritatea fiecărui nod este mai mare decât cea a fiilor săi (invariantul heapurilor)
În consecinţă, Treapul este un arbore binar de căutare pentru chei şi un max-heap pentru priorităţi.
În continuare, vom presupune că toate cheile şi priorităţile din Treapul T sunt distincte. În practică, presupunerea aceasta are un impact neglijabil.
Astfel, din moment ce T este un heap, nodul v cu prioritatea cea mai mare trebuie să fie rădăcina. Cum este şi un arbore binar de căutare, orice nod u cu cheie(u) < cheie(v) se găseşte în subarborele stâng al lui v, şi orice nod w cu cheie(w) > cheie(v) se găseşte în subarborele drept.
Este important să reţinem că un Treap este determinat în mod unic de chei şi de priorităţi. Prin inducţie se demonstrează că Treapul este arborele binar obţinut prin inserarea cheilor în ordinea descrescătoare a priorităţilor. Algoritmul de inserare este cel obişnuit pentru arborii de căutare. Astfel, cum fiecare set de priorităţi asociat nodurilor va aranja arborele într-un singur mod, probabilitatea ca arborele să fie echilibrat este rezonabil de mare, fapt datorat numărului mic al arborilor rău echilibraţi în comparaţie cu cei echilibraţi. Iată şi secretul Treapurilor: probabilitatea infimă de a se găsi o serie de priorităţi generate aleator care să nu menţină arborele echilibrat.
Avantaje
Structurile de date de heap şi de arbori binari de căutare sunt uşor de implementat şi de înţeles, iar Treapurile sunt o combinaţie a acestor două concepte. Astfel, este suficient să fie înţeleşi cei doi invarianţi, după care implementarea unui Treap se poate face cu uşurinţă în 20 de minute, fără antrenament. De obicei, la structuri ca Arbori Roşu-Negrii trebuie folosite serii de rotaţii stânga şi dreapta complexe şi analizate o multitudine de cazuri, pe când la Treapuri facem doar câte o rotaţie stânga sau dreapta la fiecare pas al algoritmului. Ei nu sunt predaţi pentru că Arborii Roşu-Negrii sau AVL au demonstraţia că limita celei mai lente operaţii este O(log N) şi sunt exemple didactice, dar Treapurile, deşi cu o demonstraţie mai grea pentru limita de O(log N), ce implică probabilităţi, sunt mult mai uşor de implementat şi cu siguranţă greu de decis în practică care sunt mai rapizi. Sunt deci, o opţiune demnă de luat în seamă.
Operaţii
Costul operaţiilor de mai jos este proporţional cu adâncimea unui nod din Treap. Cu ajutorul probabilităţilor se poate deduce că adâncimea aşteptată a oricărui nod este O(log N), ceea ce implică costul unei operaţii să fie O(log N).
Căutare
Căutarea într-un Treap este identică cu cea într-un Arbore Binar de Căutare. Priorităţile din noduri sunt folosite pentru a menţine arborele echilibrat. Pentru a verifica dacă o valoare există putem proceda în felul următor:
int search(T* n, int key)
{
if (n == nil) return 0;
if (key == n->key) return 1;
if (key < n->key)
return search(n->left, key);
else
return search(n->right, key);
}Se observă că algoritmul poate fi scris şi iterativ, lucru ce este recomandat.
Rotaţii
Să urmărim (în desen) efectul rotaţiilor asupra structurii de heap a arborelui. Pentru început, să presupunem că arborele din figura din stânga are o structură de heap cu excepţia lui w care are o prioritate mai mare decât a lui z. Dacă îl rotim pe w spre dreapta (figură rotaţie stânga - dreapta) vedem, în figura din dreapta, că structura de heap este satisfăcută. Din moment ce A era un subarbore valid al lui w, va rămâne în continuare un subarbore valid. Cum B şi C se aflau iniţial sub z ei aveau o prioritate mai mică decât a lui z, şi, astfel, după rotaţie ei sunt subarbori valizi pentru z. Este clar că z este un fiu valid al lui w, prin presupunerea făcută iniţial.
Pe de altă parte, să presupun că arborele are o structură de heap, cu excepţia lui z care are o prioritate mai mică decât a ambilor fii şi să presupunem că w este fiul cu prioritatea mai mare. Dacă efectuăm o rotaţie spre dreapta în z, radăcina va deveni w care are în continuare subarborele valid stâng A, iar pe z ca fiu valid în dreapta. Nivelul lui z a scăzut cu 1 dar este posibil ca subarborele său să nu aibă structura de heap şi să ne situăm fie în cazul acesta, când ambii fii au prioritatea mai mare fie în cazul de mai înainte când doar unul din fii are prioritatea mai mare. Astfel, continuând să îl rotim pe z vom redobândi structura de heap pentru priorităţi.
Cazurile simetrice, când trebuie să efectuăm o rotaţie spre dreapta, se tratează analog.
Pentru o rotaţie sunt necesare doar câteva operaţii cu pointeri.
Complexitate: O(1).
Inserare
În cadrul operaţiei de inserare vom atribui unui nod nou o prioritate şi îl vom insera, conform algoritmului standard de inserare într-un arbore binar, la baza arborelui. Cheile formează un arbore de căutare, dar priorităţile pot să nu mai formeze un heap. Pentru a redobândi această proprietate, cât timp nodul z are prioritate mai mare decât părintele său, se execută o rotaţie în z, o operaţie locală care scade nivelul lui z cu 1 şi creşte nivelul părintelui lui z cu 1, timp în care invariantul arborilor de căutare este menţinut. Timpul de inserare a lui z este proporţional cu adâncimea lui înainte de rotaţii - trebuie să coborâm după care să urcăm înapoi efectuând rotaţiile necesare.
Complexitate: O(log N).
Ştergere
Operaţia de ştergere este inversul operaţiei de inserare. (Se va desena o figură) Să presupunem că vrem să ştergem nodul z. Cât timp z nu este o frunză, alegem fiul w cu prioritatea mai mare şi facem o rotaţie pentru a aduce pe w în locul lui z. Astfel, după cum este explicat la rotaţii, nivelul lui z scade cu 1 până când va deveni frunză, iar arborele va redobândi structura de heap pentru priorităţi.
Complexitate: O(log N).
De adăugat: split, join, print, meld O(mlog(n/m)) - unirea a două treapuri T1 şi T2 fără nicio relaţie de ordine între ele, difference O(mlog(n/m)) - din T1 şi T2 rezultă un T care conţine cheile din T1 care nu sunt în T2, interpretarea geometrică, explicarea rotaţiilor (cum şi de ce se menţin invarianţii).
Coding
Vă puteţi uita, ca şi comparaţie, la funcţiile erase sau balance din articolul următor despre arborii AVL.
struct T {
int key;
int priority;
T *left, *right;
} *R, *nil;
void init(T* &R)
{
srand(unsigned(time(0)));
R = nil = new T();
nil->key = nil->priority = 0,
nil->left = nil->right = NULL;
}
void rotleft(T* &n)
{
T *t = n->left;
n->left = t->right, t->right = n;
n = t;
}
void rotright(T* &n)
{
T *t = n->right;
n->right = t->left, t->left = n;
n = t;
}
void balance(T* &n)
{
if (n->left->priority > n->priority)
rotleft(n);
else if (n->right->priority > n->priority)
rotright(n);
}
void insert(T* &n, int key)
{
if (n == nil)
{
n = new T();
n->key = key, n->priority = rand() + 1,
n->left = n->right = nil;
return;
}
if (key < n->key)
insert(n->left, key);
else if (key > n->key)
insert(n->right, key);
balance(n);
}
void erase(T* &n, int key)
{
if (n == nil) return ;
if (key < n->key)
erase(n->left, key);
else if (key > n->key)
erase(n->right, key);
else {
(n->left->priority > n->right->priority) ? rotleft(n) : rotright(n);
if (n != nil)
erase(n, key);
else {
delete n->left;
n->left = NULL;
}
}
}