Revizia anterioară Revizia următoare
Treapuri
(Categoria Structuri de date, Autor Marius Stroe)
În acest articol voi prezenta o alternativă pentru arborii binari de căutare echilibraţi, precum AVL, Red-Black Trees, Splay Trees şi B-Trees.
Introducere
Treapul este un arbore binar în care fiecare nod conţine două informaţii:
- cheie
- prioritate
Structura de date respectă doi invarianţi:
- dacă parcurgem arborele în inordine, atunci vom obţine nodurile sortate (invariantul arborilor de căutare)
- prioritatea fiecărui nod este mai mare decât cea a fiilor săi (invariantul heapurilor)
În consecinţă, treapul este un arbore binar de căutare pentru chei şi un max-heap pentru priorităţi.
În continuare, vom presupune că oricare două chei din treapul T sunt distincte. Cazul când avem nevoie de chei egale se va trata relativ uşor după ce acest articol va fi înţeles.
Astfel, din moment ce T este un heap, nodul v cu prioritatea cea mai mare trebuie să fie rădăcina. Întrucât este şi un arbore binar de căutare, orice nod u cu cheie(u) < cheie(v) se găseşte în subarborele stâng al lui v, şi orice nod w cu cheie(w) > cheie(v) se găseşte în subarborele drept.
Cheile şi priorităţile asociate lor, in condiţiile în care ambele sunt distincte, determină în mod unic forma unui treap. Prin inducţie se demonstrează că treapul este arborele binar obţinut prin inserarea cheilor în ordinea descrescătoare a priorităţilor. Algoritmul de inserare este cel obişnuit pentru arborii de căutare. Astfel, cum fiecare set de priorităţi asociat nodurilor va aranja arborele într-un singur mod, probabilitatea ca arborele să fie echilibrat este rezonabil de mare, fapt datorat numărului mic al arborilor rău echilibraţi în comparaţie cu cei echilibraţi. Iată şi secretul acestei structuri de date: probabilitatea infimă de a se găsi o serie de priorităţi generate aleator care să nu menţină arborele echilibrat.
Avantaje
Structurile de date de heap şi de arbori binari de căutare sunt uşor de implementat şi de înţeles, iar treapurile sunt o combinaţie a acestor două concepte. Astfel, este suficient să fie înţeleşi cei doi invarianţi, după care implementarea se poate face cu uşurinţă în 20 de minute, fără antrenament. De obicei, la structuri ca Arborii Roşu-Negru trebuie folosite serii de rotaţii stânga şi dreapta complexe şi analizată o multitudine de cazuri, pe când la treapuri facem doar câte o rotaţie stânga sau dreapta la fiecare pas al algoritmului. Ei nu sunt predaţi pentru că se preferă ca exemple didactice Arborii Roşu-Negru sau cei AVL care au o demonstraţie accesibilă că limita celei mai lente operaţii este O(log N). Dar treapurile, deşi cu o demonstraţie mai grea pentru limita de O(log N), ce implică probabilităţi, sunt mult mai uşor de implementat, iar în practică, cu siguranţă este greu de decis care sunt mai rapizi. Sunt, deci, o opţiune demnă de luat în seamă. Pe de altă parte, treapurile suportă şi alte două operaţii pe care nu le putem face cu Arborii Roşu-Negru sau
