p=. !treapuri?Rotatii.jpg!

Să urmărim efectul rotaţiilor asupra structurii de heap a unui treap care respectă doar invariantul arborilor de căutare. Aşadar, să presupunem că arborele din figura din stânga are o structură de heap cu excepţia lui $w$ care are o prioritate mai mare decât a lui $z$. Dacă îl rotim pe $w$ spre dreapta vedem în figura din dreapta că structura de heap este satisfăcută. Din moment ce $A$ era un subarbore valid al lui $w$, va rămâne în continuare un subarbore valid. Cum $B$ şi $C$ se aflau iniţial sub $z$ ei aveau o prioritate mai mică decât a lui $z$, şi, astfel, după rotaţie ei sunt subarbori valizi pentru $z$. Este clar că $z$ este un fiu valid al lui $w$, prin presupunerea făcută iniţial. Urmăriţi dacă şi invariantul arborilor de căutare se menţine (de menţionat inegalitatea pentru chei $A < w < B < z < C$) . Reţineţi că această rotaţie stă la baza algoritmului de inserare!

Să urmărim efectul rotaţiilor asupra structurii de heap a unui treap care respectă doar invariantul arborilor de căutare. Aşadar, să presupunem că arborele din figura din stânga are o structură de heap cu excepţia lui $w$ care are o prioritate mai mare decât a lui $z$. Dacă îl rotim pe $w$ spre dreapta vedem în figura din dreapta că structura de heap este satisfăcută. Din moment ce $A$ era un subarbore valid al lui $w$, va rămâne în continuare un subarbore valid. Cum $B$ şi $C$ se aflau iniţial sub $z$ ei aveau o prioritate mai mică decât a lui $z$, şi, astfel, după rotaţie ei sunt subarbori valizi pentru $z$. Este clar că $z$ este un fiu valid al lui $w$, prin presupunerea făcută iniţial.

Să urmărim dacă invariantul arborilor de căutare se menţine în urma unei astfel de rotaţii.

Cum am obţinut acelaşi şir de inegalităţi, am arătat existenţa invariantului arborilor de căutare.

Reţineţi că această rotaţie stă la baza algoritmului de inserare!
 

O altă situaţie este ca arborele să aibă o structură de heap, cu excepţia lui $z$ care are o prioritate mai mică decât a ambilor fii. Să presupunem că în figura de mai sus $w$ este fiul cu prioritatea mai mare. Dacă efectuăm o rotaţie spre dreapta în $z$, radăcina va deveni $w$ care are în continuare subarborele valid stâng $A$, iar pe $z$ ca fiu valid în dreapta. Nivelul lui $z$ a scăzut cu $1$ dar este posibil ca subarborele său să nu aibă structura de heap şi să ne situăm fie în cazul acesta, când ambii fii au prioritatea mai mare fie în cazul de mai înainte când doar unul din fii are prioritatea mai mare. Vom continua să îl rotim pe $z$ până când vom redobândi structura de heap.
Cazurile simetrice sunt imaginea în oglindă pentru cazurile de mai sus. Astfel, va fi necesar să facem o rotaţie spre stânga.