Cum am obţinut acelaşi şir de inegalităţi, am arătat existenţa invariantului arborilor de căutare.

O altă situaţie este ca arborele să aibă o structură de heap, cu excepţia lui $z$ care are o prioritate mai mică decât a ambilor fii. Să presupunem că $w$ este fiul cu prioritatea mai mare. Dacă efectuăm o rotaţie spre dreapta în $z$, radăcina va deveni $w$ care are în continuare subarborele valid stâng $A$, iar pe $z$ ca fiu valid în dreapta. Nivelul lui $z$ a scăzut cu $1$ dar este posibil ca subarborele său să nu aibă structura de heap şi să ne situăm fie în cazul acesta, când ambii fii au prioritatea mai mare fie în cazul de mai înainte când doar unul din fii are prioritatea mai mare. Vom continua să îl rotim pe $z$ până când vom redobândi structura de heap.

O altă situaţie este ca arborele să aibă o structură de heap, cu excepţia lui $z$ care are o prioritate mai mică decât a ambilor fii. Să presupunem că în figura de mai sus $w$ este fiul cu prioritatea mai mare. Dacă efectuăm o rotaţie spre dreapta în $z$, radăcina va deveni $w$ care are în continuare subarborele valid stâng $A$, iar pe $z$ ca fiu valid în dreapta. Nivelul lui $z$ a scăzut cu $1$ dar este posibil ca subarborele său să nu aibă structura de heap şi să ne situăm fie în cazul acesta, când ambii fii au prioritatea mai mare fie în cazul de mai înainte când doar unul din fii are prioritatea mai mare. Vom continua să îl rotim pe $z$ până când vom redobândi structura de heap.

Cazurile simetrice sunt imaginea în oglindă pentru cazurile de mai sus. Astfel, va fi necesar să facem o rotaţie spre stânga.