Atenţie! Aceasta este o versiune veche a paginii, scrisă la 2009-04-12 08:51:12.
Revizia anterioară   Revizia următoare  

Transformări Geometrice

(Categoria Matematică, Autor Cosmin Negruşeri)

Introducere

În acest articol vom introduce câteva noţuni legate de transformările geometrice care se pot dovedi utile în concursurile de programare.

Înainte de toate prezentăm câteva aspecte teoretice, o mare parte din ele nefiind foarte interesante şi probabil sunt conţinute şi în manualele de liceu. Cititorul poate trece direct la probleme şi, în măsura în care noţiunile din soluţii îi sunt neclare, poate reveni asupra părţii teoretice.

Translaţia

Translaţia unei figuri geometrice reprezintă mişcarea tuturor componentelor ei pe o anumita distanţă si direcţie. Această transformare poate fi uşor caracterizată de un vector v = (dx, dy). Când vrem să translatăm un punct P(x, y) după v, e de ajuns să facem operaţia P’ = P + v. Astfel, P’ are cooronatele (x + dx, y + dy).

Proprietăţi:

  • păstrează distanţele;
  • pastrează orientarea poligoanelor (adică, dacă vârfurile poligonului sunt parcurse în ordine trigonometrică, atunci vârfurile corespondente din poligonul transformat vor fi şi ele în ordine trigonometrică);
  • păstrează unghiurile;
  • o dreaptă va fi transformată în altă dreaptă paralelă cu prima;
  • înafară de translaţia trivială de vector v = (0, 0), această transformare nu are puncte fixe (adică orice punct va fi transformat într-un punct diferit);
  • translaţii successive vor rezulta tot într-o translaţie (adică, dacă vrem să translatăm un punct dupa v şi apoi după v1, atunci obţinem acelaşi rezultat dacă translatăm direct după v + v1);
  • translaţia este comutativă;

Simetria

Există două tipuri de simetrii: simetria faţă de un punct şi simetria faţa de o dreaptă.

Un punct A îl are simetric pe A’ faţă de un punct O, dacă segmentul AA’ are ca mijloc punctul O. Dacă avem un punct (x0, y0) căruia vrem să îi aflăm simetricul faţă de un punct de coordonate (x, y) atunci acesta va fi (2x – x0, 2y – y0).

Proprietăţi:

  • păstrează distanţele;
  • păstrează orientarea poligoanelor (adică, dacă varfurile poligonului sunt parcurse în ordine trigonometrică, atunci vârfurile corespondente din poligonul transformat vor fi şi ele în ordine trigonometrică);
  • păstrează unghiurile;
  • drepte paralele vor fi transformate în drepte paralele;
  • are ca punct fix punctul O, iar drepte fixe cele care trec prin punctul O;
  • simetrii succesive după centre diferite O1(x1, y1) O2(x2, y2) sunt o translaţie de vector v = 2(x2 – x1);
  • simetriile după un punct nu comută;

Dacă avem un punct P(x0, y0) şi vrem să îi aflăm simetricul faţa de o dreaptă de ecuaţie ax + by + c = 0, notăm cu d distanţa de la punctul P la dreaptă, d = \displaystyle\frac{|a*x_{0} + b*y_{0} + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} , şi avem că simetricul P’ are coordonatele (x0 + 2*a*t, y0 + 2*b*t).