_Teorema_: Fie $N$ gramezi. Prima gramada are {$x{~1~}$} pietre, cea de a doua {$x{~2~}$}, si asa mai departe, pana la ultima care are {$x{~N~}$} pietre. O astfel de pozitie este pierzatoare in jocul de $NIM$ daca si numai daca _suma-xor_ a numerelor de pietre din gramezi este {$0$}, adica daca {$x{~1~} xor x{~2~} ... xor x{~N~} = 0$}.

Pentru a demonstra aceasta teorema, trebuie sa aratam ca dintr-o stare cu _suma-xor_ egala cu $0$, prin orice mutare am face, nu putem ajunge decat intr-o stare cu suma-xor nenula, si ca dintr-o stare cu suma-xor nenula putem efectua o mutare in mod convenabil astfel incat sa ajungem intr-o stare cu suma-xor 0.

Operatia _xor_ ({_exclusive or_}) se realizeaza prin operatorul $^$ in C/C++, si prin $xor$ in Pascal. Ca operatie pe biti, ea poate fi interpretata ca adunare in baza $2$ fara transport, dupa cum reiese din tabelul urmator:
 
!teoria-jocurilor/jocul-nim?tabel.jpg!
 
Pentru a demonstra aceasta teorema, trebuie sa aratam ca dintr-o stare cu _suma-xor_ egala cu $0$, oricum am muta, nu putem ajunge decat intr-o stare cu _suma-xor_ nenula, si ca dintr-o stare cu suma-xor nenula putem efectua o mutare in mod convenabil astfel incat sa ajungem intr-o stare cu _suma-xor_ {$0$}.