In cazul jocului cu mai multi pioni, in loc sa consideram un singur graf, putem considera (conceptual) mai multe grafuri de joc identice, in fiecare dintre acestea aflandu-se cate un pion. Acum, o mutare inseamna alegerea unui graf si deplasarea pionului din graful ales conform regulilor pentru un singur pion. In acest fel, am separat jocul initial in mai multe jocuri _independente_. Stim rezultatul pentru fiecare joc _independent_ in parte si dorim sa determinam castigatorul pentru jocul cu mai multe grafuri. Aceasta inseamna ca dorim sa combinam rezultatele partiale pentru a determina rezultatul general. Pentru aceasta vom folosi _adunarea grafurilor de joc_.

Sa presupunem ca avem $P$ jocuri notate {$G{~1~}$}, {$G{~2~}$}, ..., {$G{~P~}$}, pe care dorim sa le adunam. Fiecare din cele $P$ jocuri poate fi reprezentat ca un graf orientat fara circuite in care multimea nodurilor (notata {$V{~i~}$} pentru jocul {$i$}) este data de multimea starilor iar multimea arcelor (notata {$E{~i~}$} pentru jocul {$i$}) este data de perechile ordonate de stari adiacente (exista arc de la $x$ la $y$ daca se poate ajunge printr-o mutare din starea $x$ in starea $y$). Adunand cele $P$ jocuri obtinem un nou joc {$G$} pentru care o stare (nod in graful asociat) este un {$P$}-uplu {$(v{~1~},v{~2~}, ..., v{~P~})$} care ne precizeaza starea curenta pentru fiecare joc individual ({$v{~i~}$} este starea curenta in jocul $i$). Pentru a afla daca pentru o anumita stare din jocul $G$ exista sau nu strategie sigura de castig am putea aplica algoritmul de programare dinamica (prezentat mai sus) pentru graful asociat jocului {$G$}. Se observa insa ca acest graf are {$|V{~1~}|*|V{~2~}|* ...*|V{~P~}|$} noduri, deci algoritmul nu este eficient.

Sa presupunem ca avem $P$ jocuri notate {$G{~1~}$}, {$G{~2~}$}, ..., {$G{~P~}$}, pe care dorim sa le adunam. Fiecare din cele $P$ jocuri poate fi reprezentat ca un graf orientat fara circuite in care multimea nodurilor (notata {$V{~i~}$} pentru jocul {$i$}) este data de multimea starilor iar multimea arcelor (notata {$E{~i~}$} pentru jocul {$i$}) este data de perechile ordonate de stari adiacente (exista arc de la $x$ la $y$ daca se poate ajunge printr-o mutare din starea $x$ in starea $y$). Adunand cele $P$ jocuri obtinem un nou joc {$G$} pentru care o stare (nod in graful asociat) este un {$P$}-uplu {$(v{~1~},v{~2~}, ...,v{~P~})$} care ne precizeaza starea curenta pentru fiecare joc individual ({$v{~i~}$} este starea curenta in jocul $i$). Pentru a afla daca pentru o anumita stare din jocul $G$ exista sau nu strategie sigura de castig am putea aplica algoritmul de programare dinamica (prezentat mai sus) pentru graful asociat jocului {$G$}. Se observa insa ca acest graf are {$|V{~1~}|*|V{~2~}|* ...*|V{~P~}|$} noduri, deci algoritmul nu este eficient.

In continuare vom arata cum putem sa determinam eficient daca o stare este castigatoare sau nu pentru un joc compus folosindu-ne de informatiile preprocesate pentru fiecare joc individual.

Vom aduna jocurile {$G{~1~}$}, {$G{~2~}$}, ..., {$G{~P~}$} astfel incat la fiecare pas jucatorul care urmeaza trebuie sa isi aleaga exact un joc si sa faca o mutare in jocul respectiv. Jucatorul care nu mai poate muta pierde. Un astfel de joc este generalizarea jocului cu un pion din capitolul precedent si se intalneste in problema 'Pawns':problema/pawns, data la concursul national Bursele Agora. Pentru a determina castigatorul in cazul acestui joc, ne vom folosi de urmatoarea teorema:

_Teorema_: Pentru un anumit joc $G$ care este suma jocurilor {$G{~1~}$}, {$G{~2~}$}, ..., {$G{~P~}$} dupa cum a fost definita mai sus o stare este pierzatoare daca si numai daca {$mex(x{~1~}) xor mex(x{~2~}) xor ... xor mex(x{~P~}) = 0$}, unde x{~i~} reprezinta .

_Teorema_: Fie jocurile independente {$G{~1~}$}, {$G{~2~}$}, ..., {$G{~P~}$} si fie {$G$} suma acestor jocuri. Daca la fiecare pas alegem un singur joc si efectuam o mutare in jocul ales, atunci o stare {$(v{~1~},v{~2~}, ...,v{~P~})$} din jocul {$G$} este pierzatoare daca si numai daca {$mex(v{~1~}) xor mex(v{~2~}) xor ... xor mex(v{~P~}) = 0$}, unde {$v{~i~}$} reprezinta starea din jocul {$G{~i~}$}.

_Demonstratie_: Vom arata ca jocul $G$ este echivalent cu un joc $NIM$ cu $N$ gramezi in care gramada $i$ are {$mex(v{~i~})$} pietre. In jocul $NIM$ putem alege o gramada cu {$mex(x{~i~})$} pietre si sa luam cateva astfel incat in gramada sa ramana a<g(xi) pietre. Acestei mutari in jocul NIM ii corespunde o mutare in jocul compus G in care se alege jocul individual Gi si se muta din stare curenta xi intr-o stare y cu g(y)=a. Deoarece a<g(xi) va exista mereu o astfel de stare y. Nu vom lua in considerare mutarile cand dintr-o stare xi se muta intr-o stare y cu g(y)>g(xi) deoarece urmatorul jucator poate muta din starea y intr-o stare z cu g(z)=g(xi) si anuleaza practic mutarea precedentului. (de editat)

_Demonstratie_: Demonstratia este similara cu cea a jocului {$NIM$}, cele doua jocuri fiind asemanatoare. Starile care au suma-xor {$0$} sunt pierzatoare, celelalte stari fiind castigatoare.
 
Dintr-o stare pierzatoare putem ajunge numai in stari castigatoare. Prin reducere la absurd putem presupune ca mutam dintr-o valoare {$x = mex(v{~i~})$} intr-o valoare {$x' = mex(v'{~i~})$}. Daca notam cu $S$ suma xor a starilor din jocurile diferite de {$i$}, atunci avem {$S xor x = 0$}, deci {$S = x$}. Dar trebuie sa avem si {$S xor x' = 0$}, deci $S$ este egal si cu {$x'$}, ceea ce implica {$x = x'$}. Aceasta egalitate nu poate avea loc, deoarece dintr-o stare nu putem ajunge intr-o stare adiacenta care sa aiba aceeasi valoarea Sprague-Grundy (conform definitiei functiei {$mex$}).
 
Din orice stare castigatoare putem ajunge intr-o stare pierzatoare.
 
Vom arata ca jocul $G$ este echivalent cu un joc $NIM$ cu $N$ gramezi in care gramada $i$ are {$mex(v{~i~})$} pietre. In jocul $NIM$ putem alege o gramada cu {$mex(x{~i~})$} pietre si sa luam cateva astfel incat in gramada sa ramana a<g(xi) pietre. Acestei mutari in jocul NIM ii corespunde o mutare in jocul compus G in care se alege jocul individual Gi si se muta din stare curenta xi intr-o stare y cu g(y)=a. Deoarece a<g(xi) va exista mereu o astfel de stare y. Nu vom lua in considerare mutarile cand dintr-o stare xi se muta intr-o stare y cu g(y)>g(xi) deoarece urmatorul jucator poate muta din starea y intr-o stare z cu g(z)=g(xi) si anuleaza practic mutarea precedentului. (de editat)

h3. Adunarea or