h3. Adunarea xor

Vom aduna jocurile {$G{~1~}$}, {$G{~2~}$}, ..., {$G{~N~}$} astfel incat la fiecare pas jucatorul care urmeaza trebuie sa isi aleaga exact un joc si sa faca o mutare in jocul respectiv. Ultimul jucator care muta castiga. Un astfel de joc este generalizarea jocului cu un pion din capitolul precedent si se intalneste in problema 'Pawns':problema/pawns, data la Bursele Agora. Pentru a determina castigatorul in cazul acestui joc, ne vom folosi de urmatoarea teorema:

Vom aduna jocurile {$G{~1~}$}, {$G{~2~}$}, ..., {$G{~N~}$} astfel incat la fiecare pas jucatorul care urmeaza trebuie sa isi aleaga exact un joc si sa faca o mutare in jocul respectiv. Jucatorul care nu mai poate muta pierde. Un astfel de joc este generalizarea jocului cu un pion din capitolul precedent si se intalneste in problema 'Pawns':problema/pawns, data la concursul national Bursele Agora. Pentru a determina castigatorul in cazul acestui joc, ne vom folosi de urmatoarea teorema:

_Teorema_: Pentru un anumit joc $G$ care este suma jocurilor {$G{~1~}$}, {$G{~2~}$}, ..., {$G{~P~}$} dupa cum a fost definita mai sus o stare {$v = (v{~1~},v{~2~}, ..., v{~P~})$} este pierzatoare daca si numai daca {$mex(x{~1~}) xor mex(x{~2~}) xor ... xor mex(x{~P~}) = 0$}.

h3. Adunarea or

Sa presupunem ca dorim sa adunam jocurile {$G{~1~}$}, {$G{~2~}$}, ..., {$G{~N~}$} in asa fel incat la fiecare pas jucatorul care urmeaza poate sa isi aleaga oricate jocuri si sa faca o mutare in fiecare din jocurile alese. Ultimul jucator care muta castiga. Un astfel de caz se intalneste in problema 'Pioni':problema/pioni.

Sa presupunem ca dorim sa adunam jocurile {$G{~1~}$}, {$G{~2~}$}, ..., {$G{~P~}$}, astfel incat la fiecare pas jucatorul care urmeaza poate sa isi aleaga oricate jocuri si sa faca o mutare in fiecare din jocurile alese. Jucatorul care nu mai poate muta pierde. Un astfel de caz se intalneste in problema 'Pioni':problema/pioni.

_Teorema_: Pentru un anumit joc $G$ care este suma jocurilor {$G{~1~}$}, {$G{~2~}$}, ..., {$G{~N~}$} dupa cum a fost definita mai sus o stare {$v = (v{~1~},v{~2~}, ..., v{~N~})$} este pierzatoare daca si numai daca {$mex(v{~1~}) = mex(v{~2~}) = ... = mex(v{~N~}) = 0$}.