== include(page="template/implica-te/scrie-articole" user_id="Cyber") ==

(Categoria _Structuri de date_, Autor _Catalin Francu_, Preluat din cartea _"Psihologia concursurilor de informatica"_)

(Categoria _Structuri de date_, Autor _Catalin Francu_, preluat din cartea _"Psihologia concursurilor de informatica"_)

(toc){width: 20em}*{text-align:center;} *Continut*
* 'Necesitatea tabelelor hash':tabele-hash-prezentare-detaliata#necesitate

* 'Descrierea structurii de date':tabele-hash-prezentare-detaliata#descriere
* 'Metoda impartirii cu rest':tabele-hash-prezentare-detaliata#metoda-impartirii-cu-rest
* 'Metoda inmultirii':tabele-hash-prezentare-detaliata#metoda-inmultirii

* 'Descrierea structurii':tabele-hash-prezentare-detaliata#descriere
* 'Metoda impartirii cu rest':tabele-hash-prezentare-detaliata#impartire-cu-rest
* 'Metoda inmultirii':tabele-hash-prezentare-detaliata#inmultire

* 'Probleme propuse':tabele-hash-prezentare-detaliata#probleme-propuse
h2(#necesitate). Necesitatea tabelelor hash

$B' = (B(Ind(1)), B(Ind(2)), B(Ind(3)), B(Ind(4))$.

Aceasta operatie se numeste indexare. Ce-i drept, constructia vectorului $Ind$ nu se poate face intr-un timp mai bun decat $O(N log N)$, dar dupa ce acest lucru se face (o singura data, la inceputul programului), cautarile se pot face foarte repede. Daca pe parcurs se fac adaugari sau stergeri de elemente in/din baza de date, se va pierde catva timp pentru mentinerea indexului, dar in practica timpul acesta este mult mai mic decat timpul care s-ar pierde cu cautarea unor elemente in cazul in care vectorul ar fi neindexat. Nu vom intra in detalii despre indexare, deoarece nu acesta este obiectul articolului de fata.

Aceasta operatie se numeste indexare. Ce-i drept, constructia vectorului $Ind$ nu se poate face intr-un timp mai bun decat $O(N log N)$, dar dupa ce acest lucru se face (o singura data, la inceputul programului), cautarile se pot face foarte repede. Daca pe parcurs se fac adaugari sau stergeri de elemente in/din baza de date, se va pierde catva timp pentru mentinerea indexului, dar in practica timpul acesta este mult mai mic decat timpul care s-ar pierde cu cautarea unor elemente in cazul in care vectorul ar fi neindexat. Nu vom intra in detalii despre indexare, deoarece nu acesta este obiectul capitolului de fata.

In unele situatii nu se poate face nici indexarea structurii de date. Sa consideram cazul unui program care joaca sah. Numarul de pozitii posibile ale pieselor pe tabla de sah este mult prea mare. Nu poate fi vorba nici macar de retinerea tuturor, cu atat mai putin de indexarea lor. In esenta, modul de functionare al acestui program se reduce la o rutina care primeste o pozitie pe tabla si o variabila care indica daca la mutare este albul sau negrul, rutina intorcand cea mai buna mutare care se poate efectua din acea pozitie. Majoritatea programelor de sah incep sa expandeze respectiva pozitie, examinand tot felul de variante ce pot decurge din ea si alegand-o pe cea mai promitatoare, asa cum fac si jucatorii umani. Pozitiile analizate, fiind mult mai putine decat cele posibile, sunt stocate in memorie sub forma unei liste.

Sa ne inchipuim acum urmatoarea situatie. Este posibil ca, prin expandarea unei configuratii initiale a tablei sa se ajunga la aceeasi configuratie finala pe doua cai diferite. Spre exemplu, daca albul muta intai calul la _f3_, apoi nebunul la _c4_, pozitia rezultata va fi aceeasi ca si cand s-ar fi mutat intai nebunul si apoi calul (considerand bineinteles ca negrul da in ambele situatii aceeasi replica). Daca configuratia finala a fost deja analizata pentru prima varianta, este inutil sa o mai analizam si pentru cea de-a doua, pentru ca rezultatul (concluzia la care se va ajunge) va fi exact acelasi. Dar cum isi poate da programul seama daca pozitia pe care are de gand s-o analizeze a fost analizata deja sau nu?

Sa ne inchipuim acum urmatoarea situatie. Este posibil ca, prin expandarea unei configuratii initiale a tablei sa se ajunga la aceeasi configuratie finala pe doua cai diferite. Spre exemplu, daca albul muta intai calul la _f3_, apoi nebunul la _c4_, pozitia rezultata va fi aceeasi ca si cand s-ar fi mutat intai nebunul si apoi calul (considerand bineinteles ca negrul da in ambele situatii aceeasi replica). Daca configuratia finala a fost deja analizata pentru prima varianta, este inutil sa o mai analizam si pentru cea de-a doua, pentru ca rezultatul (concluzia la care se va ajunge) va fi exact acelasi. Dar cum isi poate da programul seama daca pozitia pe care are de gand s-o analizeze a fost analizata deja sau nu ?

Cea mai simpla metoda este o scanare a listei de configuratii examinate din memorie. Daca in aceasta lista se afla pozitia curenta de analizat, inseamna ca ea a fost deja analizata si vom renunta la ea. Daca nu, o vom analiza acum. Ideea in mare a algoritmului este:
== code(c) |

functia Analizeaza(Pozitie P)

procedura Analizeaza(Pozitie P)

    cauta P in lista de pozitii deja analizate
    daca P nu exista in lista
        expandeaza P si afla cea mai buna mutare M

Nu vom insista asupra a cum se expandeaza o pozitie si cum se calculeaza efectiv cea mai buna mutare. Noi ne vom interesa de un singur aspect, si anume cautarea unei pozitii in lista. Tehnica cea mai "naturala" este o parcurgere a listei de la cap la coada, comparand pe rand pozitia cautata cu fiecare pozitie din lista. Daca lista are memorate $N$ pozitii, atunci in cazul unei cautari cu succes (pozitia este gasita), numarul mediu de comparatii facute este $N/2$, iar numarul cel mai defavorabil ajunge pana la $N$. In cazul unei cautari fara succes (pozitia nu exista in lista), numarul de comparatii este intotdeauna $N$. De altfel, cazul cautarii fara succes este mult mai frecvent pentru problema jocului de sah, unde numarul de pozitii posibile creste exponential cu numarul de mutari. Acelasi numar de comparatii il presupune si stergerea unei pozitii din lista (care presupune intai gasirea ei) si adaugarea (care presupune ca pozitia de adaugat sa nu existe deja in lista).

Pentru imbunatatirea practica a acestui timp sunt folosite _tabelele de dispersie_ sau _tabelele hash_ (engl. _hash_ = a toca, tocatura). Mentionam de la bun inceput ca tabelele hash nu au nicio utilitate din punct de vedere teoretic. Daca suntem rau intentionati, este posibil sa gasim exemple pentru care cautarea intr-o tabela hash sa dureze la fel de mult ca intr-o lista simplu inlantuita, respectiv $O(N)$. Dar in practica timpul cautarii si al adaugarii de elemente intr-o tabela hash coboara uneori pana la $O(1)$, iar in medie scade foarte mult (de mii de ori).

Pentru imbunatatirea practica a acestui timp sunt folosite _tabelele de dispersie_ sau _tabelele hash_ (engl. hash = a toca, tocatura). Mentionam de la bun inceput ca tabelele hash nu au nicio utilitate din punct de vedere teoretic. Daca suntem rau intentionati, este posibil sa gasim exemple pentru care cautarea intr-o tabela hash sa dureze la fel de mult ca intr-o lista simplu inlantuita, respectiv $O(N)$. Dar in practica timpul cautarii si al adaugarii de elemente intr-o tabela hash coboara uneori pana la $O(1)$, iar in medie scade foarte mult (de mii de ori).

h2(#descriere). Descrierea structurii de date

h2(#descriere). Descrierea structurii

Iata despre ce este vorba. Sa presupunem pentru inceput ca in loc de pozitii pe tabla de sah, lista noastra memoreaza numere intre 0 si 999. In acest caz, tabela hash ar fi un simplu vector $H$ cu $1000$ de elemente booleene. Initial, toate elementele lui $H$ au valoarea $False$ (sau $0$). Daca numarul $473$ a fost gasit in lista, nu avem decat sa setam valoarea lui $H(473)$ la $True$ (sau $1$). La o noua aparitie a lui $473$ in lista, vom examina elementul $H(473)$ si, deoarece el este $True$, inseamna ca acest numar a mai fost gasit. Daca dorim stergerea unui element din hash, vom reseta pozitia corespunzatoare din $H$. Practic, avem de-a face cu un exemplu rudimentar de ceea ce se cheama functie de dispersie, adica $h(x) = x$. O proprietate foarte importanta a acestei functii este injectivitatea; este imposibil ca la doua numere distincte sa corespunda aceeasi intrare in tabela. Sa incercam o reprezentare grafica a metodei:

Iata despre ce este vorba. Sa presupunem pentru inceput ca in loc de pozitii pe tabla de sah, lista noastra memoreaza numere intre 0 si 999. In acest caz, tabela hash ar fi un simplu vector $H$ cu 1000 de elemente booleene. Initial, toate elementele lui $H$ au valoarea $False$ (sau $0$). Daca numarul 473 a fost gasit in lista, nu avem decat sa setam valoarea lui $H(473)$ la $True$ (sau $1$). La o noua aparitie a lui 473 in lista, vom examina elementul $H(473)$ si, deoarece el este $True$, inseamna ca acest numar a mai fost gasit. Daca dorim stergerea unui element din hash, vom reseta pozitia corespunzatoare din $H$. Practic, avem de-a face cu un exemplu rudimentar de ceea ce se cheama functie de dispersie, adica $h(x)=x$. O proprietate foarte importanta a acestei functii este injectivitatea; este imposibil ca la doua numere distincte sa corespunda aceeasi intrare in tabela. Sa incercam o reprezentare grafica a metodei:

p=. !tabele-hash-prezentare-detaliata?hash1.jpg!

!tabele-hash-prezentare-detaliata?hash1.jpg!

Iata primul set de functii de gestionare a unui hash.

Iata primul set de proceduri de gestionare a unui Hash.

== code(c) |
const int M = 1000;

Hash H;
void InitHash1(Hash H) {

    for (int i = 0; i < M; H[i++] = 0);

    for (int i=0; i<M; H[i++]=0);

}
inline int h(DataType K) {

}
void Add1(Hash H, DataType K) {

    H[h(K)] = 1;

    H[h(K)]=1;

}
void Delete1(Hash H, DataType K) {

    H[h(K)] = 0;

    H[h(K)]=0;

}
==

Prin "numar de intrari" in tabela se intelege numarul de elemente ale vectorului $H$; in general, orice tabela hash este un vector. Pentru ca functiile sa fie cat mai generale, am dat tipului de date _int_ un nou nume _DataType_. In principiu, tabelele hash se aplica oricarui tip de date. In realitate, fenomenul este tocmai cel invers: orice tip de date trebuie "convertit" printr-o metoda sau alta la tipul de date _int_, iar functia de dispersie primeste ca parametru un intreg. Functiile hash prezentate in viitor nu vor mai lucra decat cu variabile de tip intreg. Vom vorbi mai tarziu despre cum se poate face conversia. Acum sa generalizam exemplul de mai sus.

Prin "numar de intrari" in tabela se intelege numarul de elemente ale vectorului $H$; in general, orice tabela hash este un vector. Pentru ca functiile sa fie cat mai generale, am dat tipului de data _int_ un nou nume _DataType_. In principiu, tabelele Hash se aplica oricarui tip de date. In realitate, fenomenul este tocmai cel invers: orice tip de date trebuie "convertit" printr-o metoda sau alta la tipul de date _int_, iar functia de dispersie primeste ca parametru un intreg. Functiile hash prezentate in viitor nu vor mai lucra decat cu variabile de tip intreg. Vom vorbi mai tarziu despre cum se poate face conversia. Acum sa generalizam exemplul de mai sus.

Intr-adevar, cazul anterior este mult prea simplu. Sa ne inchipuim de pilda ca in loc de numere mai mici ca $1.000$, avem numere de pana la $2.000.000.000$. In aceasta situatie posibilitatea de a reprezenta tabela ca un vector caracteristic iese din discutie. Numarul de intrari in tabela este de ordinul miilor, cel mult al zecilor de mii, deci cu mult mai mic decat numarul total de chei (numere) posibile. Ce avem de facut? Am putea incerca sa adaugam un numar $K$ intr-o tabela cu $M$ intrari (numerotate de la 0 la $M-1$) pe pozitia $K mod M$, adica $h(K) = K mod M$. Care va fi insa rezultatul? Functia $h$ isi va pierde proprietatea de injectivitate, deoarece mai multor chei le poate corespunde aceeasi intrare in tabela, cum ar fi cazul numerelor $1.234$ si $2.001.234$, ambele dand acelasi rest la impartirea prin $M = 1.000$. Nu putem avea insa speranta de a gasi o functie injectiva, pentru ca atunci numarul de intrari in tabela ar trebui sa fie cel putin egal cu numarul de chei distincte. Vrand-nevrand, trebuie sa rezolvam coliziunile (sau conflictele) care apar, adica situatiile cand mai multe chei distincte sunt repartizate la aceeasi intrare.

Intr-adevar, cazul anterior este mult prea simplu. Sa ne inchipuim de pilda ca in loc de numere mai mici ca 1000, avem numere de pana la 2.000.000.000. In aceasta situatie posibilitatea de a reprezenta tabela ca un vector caracteristic iese din discutie. Numarul de intrari in tabela este de ordinul miilor, cel mult al zecilor de mii, deci cu mult mai mic decat numarul total de chei (numere) posibile. Ce avem de facut? Am putea incerca sa adaugam un numar $K$ intr-o tabela cu $M$ intrari (numerotate de la 0 la $M-1$) pe pozitia $K mod M$, adica $h(K) = K mod M$. Care va fi insa rezultatul? Functia $h$ isi va pierde proprietatea de injectivitate, deoarece mai multor chei le poate corespunde aceeasi intrare in tabela, cum ar fi cazul numerelor 1234 si 2001234, ambele dand acelasi rest la impartirea prin $M=1000$. Nu putem avea insa speranta de a gasi o functie injectiva, pentru ca atunci numarul de intrari in tabela ar trebui sa fie cel putin egal cu numarul de chei distincte. Vrand-nevrand, trebuie sa rezolvam coliziunile (sau conflictele) care apar, adica situatiile cand mai multe chei distincte sunt repartizate la aceeasi intrare.

Vom reveni ulterior la oportunitatea alegerii functiei modul si a numarului de $1.000$ de intrari in tabela. Deocamdata vom folosi aceste date pentru a explica modul de functionare a tabelei hash pentru functii neinjective. Sa presupunem ca avem doua chei $K1$ si $K2$ care sunt repartizate de functia $h$ la aceeasi intrare $X$, adica $h(K1) = h(K2) = X$. Solutia cea mai comoda este ca $H(X)$ sa nu mai fie un numar, ci o lista liniara simplu inlantuita care sa contina toate cheile gasite pana acum si repartizate la aceeasi intrare $X$. Prin urmare vectorul $H$ va fi un vector de liste:

Vom reveni ulterior la oportunitatea alegerii functiei modul si a numarului de 1000 de intrari in tabela. Deocamdata vom folosi aceste date pentru a explica modul de functionare a tabelei hash pentru functii neinjective. Sa presupunem ca avem doua chei $K1$ si $K2$ care sunt repartizate de functia $h$ la aceeasi intrare $X$, adica $h(K1)=h(K2)=X$. Solutia cea mai comoda este ca $H(X)$ sa nu mai fie un numar, ci o lista liniara simplu inlantuita care sa contina toate cheile gasite pana acum si repartizate la aceeasi intrare $X$. Prin urmare vectorul $H$ va fi un vector de liste:
 
!tabele-hash-prezentare-detaliata?hash2.jpg!

p=. !tabele-hash-prezentare-detaliata?hash2.jpg!
 
Sa analizam acum complexitatea noilor functii de cautare, adaugare si stergere. Cautarea nu se va mai face in toata lista, ci numai in lista corespunzatoare din $H$. Altfel spus, o cheie $K$ se va cauta numai in lista $H(h(K))$, deoarece daca cheia $K$ a mai aparut, ea a fost in mod sigur repartizata la intrarea $H(h(K))$. De aceea, cautarea poate ajunge, in cazul cel mai defavorabil cand toate cheile din lista se repartizeaza la aceeasi intrare in hash, la o complexitate $O(N)$. Daca reusim insa sa gasim o functie care sa distribuie cheile cat mai aleator, timpul de intrare se va reduce de $M$ ori. Avantajele sunt indiscutabile pentru $M = 10.000$ de exemplu.

Sa analizam acum complexitatea noilor proceduri de cautare, adaugare si stergere. Cautarea nu se va mai face in toata lista, ci numai in lista corespunzatoare din $H$. Altfel spus, o cheie $K$ se va cauta numai in lista $H(h(K))$, deoarece daca cheia $K$ a mai aparut, ea a fost in mod sigur repartizata la intrarea $H(h(K))$. De aceea, cautarea poate ajunge, in cazul cel mai defavorabil cand toate cheile din lista se repartizeaza la aceeasi intrare in hash, la o complexitate $O(N)$. Daca reusim insa sa gasim o functie care sa distribuie cheile cat mai aleator, timpul de intrare se va reduce de $M$ ori. Avantajele sunt indiscutabile pentru $M=10000$ de exemplu.

Intrucat operatiile cu liste liniare sunt in general cunoscute, nu vom insista asupra lor. Prezentam aici numai adaugarea si cautarea, lasandu-va ca tema scrierea functiei de stergere din tabela.

Vom termina prin a prezenta doua functii de dispersie foarte des folosite.

h2(#metoda-impartirii-cu-rest). Metoda impartirii cu rest

h2(#impartire-cu-rest). Metoda impartirii cu rest

Despre aceasta metoda am mai vorbit. Functia hash este: $h(x) = x mod M$ unde $M$ este numarul de intrari in tabela. Problema care se pune este sa-l alegem pe $M$ cat mai bine, astfel incat numarul de coliziuni pentru oricare din intrari sa fie cat mai mic. De asemenea, trebuie ca $M$ sa fie cat mai mare, pentru ca media numarului de chei repartizate la aceeasi intrare sa fie cat mai mica. Totusi, experienta arata ca nu orice valoare a lui $M$ este buna.

Practic, trebuie ca $M$ sa nu fie un numar rotund in nicio baza aritmetica, sau cel putin nu in bazele 2 si 10. O buna alegere pentru $M$ sunt numerele prime care sa nu fie apropiate de nicio putere a lui 2. De exemplu, in locul unei tabele cu $M=10000$ de intrari, care s-ar comporta dezastruos, putem folosi una cu 9973 de intrari. Chiar si aceasta alegere poate fi imbunatatita; intre puterile lui 2 vecine, respectiv 8192 si 16384, se poate alege un numar prim din zona 11000-12000. Risipa de memorie de circa 1000-2000 de intrari in tabela va fi pe deplin compensata de imbunatatirea cautarii.

h2(#metoda-inmultirii). Metoda inmultirii

h2(#inmultire). Metoda inmultirii

Pentru aceasta metoda functia hash este $h(x) = [M * {x*A}]$. Aici $A$ este un numar pozitiv subunitar, $0 < A < 1$, iar prin ${x*A}$ se intelege partea fractionara a lui $x*A$, adica $x*A - [x*A]$. De exemplu, daca alegem $M = 1234$ si $A = 0.3$, iar $x = 1997$, atunci avem $h(x) = [1234 * {599.1}] = [1234 * 0.1] = 123$. Se observa ca functia $h$ produce numere intre $0$ si $M-1$. Intr-adevar $0 &le; {x*A} < 1$ <tex>\Rightarrow</tex> $0 &le; M * {x*A} < M$.