Prima observatie ar fi ca pentru a ne asigura ca intr-o regiune numarul de casute albe este egal cu numarul de celule negre este suficient ca aria regiunii sa fie para.

Plecand de la aceasta observatie si de la faptul ca $N$ este mereu par propunem urmatoarea impartire a tablei si voi demonstra apoi ca indeplineste conditiile din enunt. Impartim tabla in benzi de latime $2$ (pentru a asigura paritatea ariilor). Apoi prima banda o lasam intreaga, iar pentru urmatoarele banda $i$ se va inmparti in $i-1$ si {$N-i+1$}. Astfel se vor creea $N-1$ regiuni. Se observa ca toate dreptunghiurile difera intre ele prin lungime deoarece se folosesc toate numerele de la $1$ la $N$ mai putin {$N/2$}.

Plecand de la aceasta observatie si de la faptul ca $N$ este mereu par propunem urmatoarea impartire a tablei si voi demonstra apoi ca indeplineste conditiile din enunt. Impartim tabla in benzi de latime $2$ (pentru a asigura paritatea ariilor). Apoi prima banda o lasam intreaga, iar pentru urmatoarele banda $i$ se va imparti in $i-1$ si {$N-i+1$}. Astfel se vor creea $N-1$ regiuni. Se observa ca toate dreptunghiurile difera intre ele prin lungime deoarece se folosesc toate numerele de la $1$ la $N$ mai putin {$N/2$}.

Pentru a demonstra ca $N-1$ este numarul maxim de regiuni care se poate creea vom presupune ca se poate imparti tabla in $N$ regiuni. Vom considera ca se folosesc cele mai mici arii posibile, dar acestea trebuie sa fie toate pare. Suma ariilor va fi $2+4+6+..+2*N= 2*(N*(N+1)/2)=N*N+N$ ceea ce ar depasi tabla noastra.