Aceasta se datoreaza periodicitatii. In plus, cel de-al doilea termen provine din faptul ca daca am o pereche de chei confundabile in $P$, fiecare dintre ele formeaza o pereche (in plus fata de cea explicata mai sus) - cu corespondentul modulo $K$ al perechii sale initiale - pentru fiecare din cele $T$ aparitii disjuncte ale lui $P$ in $S$. Alte perechi nu mai sunt care sa _merite_ numarate, deci formula e corecta. Ramane de vazut cum o vom folosi.

Merita sa analizam cum depinde $A$ de felul in care arata $P$. Cand vom folosi termenul de _rotatie_ a unui sir, ne vom referi la rotatii circulare, adica aplicarea succesiva a mutarii primului element din sir la capatul sau. Stim ca $P$ e neperiodic (un sir e neperiodic atunci cand perioada sa minima e chiar el insusi) (altfel, am fi gasit o perioada mai scurta, contrazicand minimalitatea lui $P$), deci pentru a avea macar o pereche de chei confundabile, singura varianta e sa putem roti sirul in asa fel incat %{color:red}sa contina un palindrom de marime cel putin $K - 1$%. Orice astfel de sir +se poate roti+ in asa fel incat sa respecte unul din cele 4 cazuri:

Merita sa analizam cum depinde $A$ de felul in care arata $P$. Cand vom folosi termenul de _rotatie_ a unui sir, ne vom referi la rotatii circulare, adica aplicarea succesiva a mutarii primului element din sir la capatul sau. Stim ca $P$ e neperiodic (un sir e neperiodic atunci cand perioada sa minima e chiar el insusi) (altfel, am fi gasit o perioada mai scurta, contrazicand minimalitatea lui $P$), deci pentru a avea macar o pereche de chei confundabile, singura varianta e sa putem roti sirul in asa fel incat %{color:red}sa contina un palindrom de marime cel putin $K - 1$%. Orice astfel de sir +se poate roti+ in asa fel incat sa respecte unul din cele 3 cazuri:

|_. indicele categoriei |_. relatii intre valorile sirului <tex> P_0 \ldots P_{K - 1} </tex> |_. conditii impuse asupra lui <tex> K </tex> |_. valoarea lui $A$ in general |_. exemple de <tex> P </tex> |_. valoarea lui $A$ in exemplu |
| <tex> \Lambda </tex> | <tex> P_i = P_{K - i}, \forall i \in \{ 1, 2, \ldots, K - 1 \} </tex> | <tex> K </tex> impar | $A =$ <tex> \frac{K - 1}{2} </tex> | %{color:red}x%{%{color:blue}abc%}{%{color:green}cba%}, %{color:red}x%{%{color:blue}aba%}{%{color:green}aba%} | $3$ |

| <tex> \Omega </tex> | <tex> P_i = P_{K - i}, \forall i \in \{ 1, 2, \ldots, K - 1 \} </tex> | <tex> K </tex> par | $A =$ <tex> \frac{K}{2} - 1 </tex> | %{color:red}b%{%{color:blue}abc%}{%{color:red}a%}{%{color:green}cba%} = %{color:red}a%{%{color:blue}cba%}{%{color:red}b%}{%{color:green}abc%}, %{color:red}x%{%{color:blue}abc%}{%{color:red}y%}{%{color:green}cba%}, %{color:red}x%{%{color:blue}abc%}{%{color:red}x%}{%{color:green}cba%}, %{color:red}x%{%{color:blue}abx%}{%{color:red}x%}{%{color:green}xba%} | $3$ |
| <tex> \Gamma </tex> | <tex> P_i = P_{K - i - 1}, \forall i \in \{ 0, 1, \ldots, K - 1 \} </tex> | <tex> K </tex> par | $A =$ <tex> \frac{K}{2} </tex> | %{color:blue}abcd%{%{color:green}dcba%} | $4$ |
| <tex> \Xi </tex> | <tex> non \Lambda, non \Omega, non \Gamma </tex> | $0$ | $0$ | $abcdef$ | $0$ |
 

| <tex> \Omega </tex> | <tex> P_i = P_{K - i}, \forall i \in \{ 1, 2, \ldots, K - 1 \}, P_0 \neq P_{\frac{K}{2}} </tex> | <tex> K </tex> par | $A =$ <tex> \frac{K}{2} - 1 </tex> | %{color:red}b%{%{color:blue}abc%}{%{color:red}a%}{%{color:green}cba%} = %{color:red}a%{%{color:blue}cba%}{%{color:red}b%}{%{color:green}abc%}, %{color:red}x%{%{color:blue}abc%}{%{color:red}y%}{%{color:green}cba%} | $3$ |
| <tex> \Gamma </tex> | <tex> P_i = P_{K - i}, \forall i \in \{ 1, 2, \ldots, K - 1 \}, P_0 = P_{\frac{K}{2}} </tex> | <tex> K </tex> par | $A =$ <tex> \frac{K}{2} </tex> | %{color:red}x%{%{color:blue}abc%}{%{color:red}x%}{%{color:green}cba%}, %{color:red}x%{%{color:blue}abx%}{%{color:red}x%}{%{color:green}xba%} | $4$ |

Sirul *neperiodic* $P$ trebuie doar sa respecte relatiile date, pentru macar o rotatie de-a sa, pentru a se incadra definitiv intr-una din categorii. E clar ca orice sir face parte din cel mult o categorie. Din fericire, periodicitatea si rotirea sunt probleme foarte asemanatoare cand vine vorba de numarare de siruri, dupa cum vom vedea.