h2(#6). Problema 6:
Pentru N plane determinaţi numărul maxim de zone în care poate fi împărţit spaţiul cu acestea.

h3. Rezolvare:
În această problemă urmăm raţionamentul de până acum. Este evident că trebuie ca fiecare plan să se intersecteze cu fiecare, că oricare trei plane trebuie să nu se intersecteze într-o dreaptă, oricare trei plane nu trebuie să fie paralele cu o dreaptă şi oricare patru plane nu trebuie să se intersecteze într-un punct. Notăm p(n) numărul maxim de zone în care n plane împart spatiul. Când adaugăm un nou plan acesta va fi intersectat de celelalte plane în n drepte, drepte care după restrictiile care le-am pus nu vor fi două paralele sau trei care să se intersecteze într-un punct. Acest plan va fi împărţit în d(n)  regiuni de aceste drepte din cauza restricţiilor impuse. Fiecare regiune din plan taie o zonă din spaţiu în două noi zone, de aici tragem concluzia că p(n + 1) = d(n) + p(n). Astfel avem p(n) =  n(n-1)/2 + 1 + (n-1)(n-2)/2 + 1 + … +  2 * 1 / 2 + 1 + p(1) = ( n^2 – n + (n-1)^2 – (n-1) + … + 2^2 – 2  +  1 – 1 + (n – 1) )/2 + 2 = ( n(n+1)(2n + 1)/6 – n(n+1)/2 + (n-1))/2 + 2  = (n^3/3 + n^2/2 + n/6 – n^2/2 – n/2 )/2 + n + 1 = n^3 / 6 + 5n/6 + 1. Am folosit identităţile 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 şi 1 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 care se pot demonstra uşor prin inducţie.