p=. !probleme-de-acoperire?P22.jpg!

h3. *Problema 3* (Concursul naţional de informatică Lugoj, 1998)
 
Să se acopere complet un pătrat de latură $N >= 6$ cu următoarele piese, astfel ca fiecare piesă să fie folosită cel puţin o dată.
 
p=. !probleme-de-acoperire?P31.jpg!
 
h3. Soluţie:
 
Observăm că fiecare piesă este formată din patru pătrăţele. De aici deducem că $N^2^$ este multiplu de $4$ deci $N$ e multiplu de $2$. Pentru $N = 6$ avem următoarea soluţie:
 
p=. !probleme-de-acoperire?P32.jpg!
 
Pentru $N > 6$ putem împărţi pătratul într-un pătrat de latură $6$ şi două dreptunghiuri de dimensiuni $6 x (N – 6)$ şi $(N – 6) x N$, după cum observăm în figura următoare. Dreptunghiurile pot fi acoperite cu piese de tip $3$.
 
p=. !probleme-de-acoperire?P33.jpg!
 
h3. *Problema 4*
 
Să se determine dacă putem acoperi o tablă de dimensiune $N x N$ cu dominouri după ce îi eliminăm două colţuri opuse.
 
h3. Soluţie:
 
Prima observaţie pe care o facem este aceea că $N$ trebuie să fie par pentru ca tabla să poată fi acoperită. Este evident pentru cazurile $N = 2$ sau $N = 4$ că problema nu are soluţie, dar pentru cazuri mai mari demonstraţia faptului că există sau nu există soluţie pare dificilă, şi valorile lui $N$ pentru care o abordare exhaustivă a posibilităţilor de  acoperire a tablei cu dominouri ar fi eficientă sunt destul de mici.
O idee interesantă este aceea de a colora pătratele tablei în acelaşi mod în care se colorează o tablă de şah, aşa cum vedem în figura următoare.
 
p=. !probleme-de-acoperire?P41.jpg!
 
Orice domino amplasat pe tablă va acoperi două pătrăţele de culori diferite, deci tabla trebuie să aibă un număr egal de pătrăţele colorate alb şi negru, fapt care nu se întâmplă în problema noastră. De aici deducem că nu putem acoperi tabla din care au fost eliminate două colţuri opuse. O problemă ce se poate aborda cu o tehnică asemănătoare este următoarea: „Se dă un dreptunghi de dimensiuni $7 x 10$. Din colţurile lui scoatem câte un pătrat de latură $1$. Să se arate că figura rămasă nu poate fi pardosită cu dreptunghiuri de laturi $3$ şi $1$. Pentru probleme de acelaşi gen şi soluţia la această problemă puteţi să consultaţi în [1] secţiunea 1.1 $Invariant$, sau în [2] secţiunea $Probleme de colorare şi acoperire$. Problema în care eliminăm două pătrate de aceiaşi culoare sau chiar cazul generalizat în care eliminăm un număr mai mare de pătrăţele o vom discuta în numărul viitor.