Trilanţ

Trilant

== include(page="template/taskheader" task_id="trilant") ==

Într-un graf neorientat $G = (V,E)$, un lanţ reprezintă o succesiune de noduri $S={x{~1~}, x{~2~}, ..., x{~k~}}$, astfel încât există muchie între oricare două noduri consecutive. Costul unui lanţ este suma costurilor muchiilor alese pentru a uni x{~1~} cu x{~2~}, x{~2~} cu x{~3~} ... x{~k-1~} cu x{~k~}. Vom nota un lanţ $(x{~1~},x{~2~}...x{~k~})$ prin primul si ultimul său nod, adică astfel: $(x1, xk)$.
Definim un trilanţ într-un graf neorientat $G = (V,E)$ ca fiind reuniunea a trei lanţuri $(A,X), (B,X), (C,X); A, B, C, X ⊆ V$, $X$ fiind singurul nod comun celor trei. Costul unui trilanţ este suma costurilor celor trei lanţuri care îl formează.

Într-un graf neorientat $G=(V,E)$ cu costuri pe muchii, definim un lanţ ca fiind o succesiune de noduri $S={x{~1~},x{~2~}...x{~k~}}$, cu condiţia să existe muchie între oricare două noduri consecutive, si toate nodurile să fie diferite. Costul unui lanţ este reprezentat de suma costurilor muchiilor alese pentru a uni $x{~1~}$ cu $x{~2~}, x{~2~} cu x{~3~} ... x{~k-1~}$ cu $x{~k~}$. Vom nota un lanţ $(x{~1~},x{~2~}...x{~k~})$ prin primul si ultimul său nod, adică : $(x{~1~},x{~k~})$. Definim un trilanţ ca fiind reuniunea a trei lanţuri $(A,X),(B,X),(C,X); A,B,C,X ⊆ V$, $X$ fiind singurul nod comun celor trei. Costul unui trilanţ este egal cu suma costurilor celor trei lanţuri care îl formează. Vom nota un trilanţ prin $(A,B,C)$.

h2. Cerinţa

Dându-se un graf neorientat $G = (V,E)$ şi trei noduri $A, B, C ⊆ V$, determinaţi costul minim al unui trilanţ cu vârfurile in $A, B, C$, precum şi acest trilanţ.

Dându-se un graf neorientat $G=(V,E)$ şi trei noduri $A,B,C ⊆ V$, determinaţi costul minim al trilanţului $(A,B,C)$.

h2. Date de intrare

Pe prima linie a fişierului $trilant.in$ se află două numere naturale $N, M$ separate printr-un spaţiu, reprezentând numărul de noduri, respectiv numărul de muchii din graf. Pe a doua linie a fişierului de intrare se vor afla numerele naturale $A, B, C$ cu semnificaţia din enunţ.
Următoarele $M$ linii vor conţine câte trei numere $P, Q, X$ descriind faptul ca există muchie de la nodul $P$ la nodul $Q$ cu costul $X$.

Pe prima linie a fişierului $trilant.in$ se află două numere $N,M$ separate printr-un spaţiu, reprezentând numărul de noduri, respectiv numărul de muchii din graf. Pe a doua linie a fişierului de intrare se vor afla numerele $A,B,C$ cu semnificaţia din enunţ. Următoarele $M$ linii vor conţine câte trei numere naturale $P,Q,T$ descriind faptul ca există muchie de la nodul $P$ la nodul $Q$ cu costul $T$.

h2. Date de ieşire

Fişierul $trilant.out$ va conţine pe prima linie costul minim găsit. Fiecare din următoarele trei linii va avea urmatorul format: $K$, urmat de $K$ numere $x{~1~},x{~2~}...x{~k~}$, reprezentand unul din cele trei lanţuri ce formeză un trilanţ. Cele trei lanţuri pot fi afişate oricum. În caz că există mai multe trilanţuri de cost minim se va afişa oricare dintre ele.

Fişierul $trilant.out$ va conţine pe prima linie costul minim găsit. Fiecare din următoarele trei linii va avea urmatorul format: $K$, urmat de $K$ numere $x{~1~},x{~2~}...x{~k~}$, reprezentand unul din cele trei lanţuri ce formeză trilanţul cerut. Cele trei lanţuri vor fi afisate cu nodurile in ordine de la $X$ la $A$, de la $X$ la $B$ si de la $X$ la $C$. În cazul în care există mai multe soluţii, se poate afişa oricare.

h2. Restricţii

* $1 ≤ A, B ≤ N ≤ 100 000$
* $1 ≤ M ≤ 100 000$
* $1 ≤ C ≤ 50 000$
* Pentru $30%$ din teste $N ≤ 1 000$
* Gradul maxim al unui nod din graf este $10$

* $1 ≤ A, B, C ≤ N ≤ 100 000$
* $1 ≤ M ≤ 250 000$
* $1 ≤ costul unei muchii ≤ 4 000 000$
* Pentru $50%$ din teste $N ≤ 1 000$

* Lanţurile care formează un trilanţ pot avea lungimi diferite

* Oricare trei lanţuri $(A,X), (B,X), (C,X)$ care formează un trilanţ vor fi disjuncte două cate două, mai puţin nodul $X$ (singurul nod comun pe care îl vor avea va fi $X$)
* Oricare trei lanţuri $(A,X), (B,X), (C,X)$ care formează un trilanţ vor avea lungime $≥ 2 (A ≠ X, B ≠ X, C ≠ X)$

* Oricare trei lanţuri $(A,X),(B,X),(C,X)$ care formează un trilanţ vor fi disjuncte două cate două, mai puţin nodul $X$ (singurul nod comun pe care îl vor avea va fi $X$)
* Intotdeauna va exista solutie

h2. Exemplu
table(example). |_. trilant.in |_. trilant.out |
| 4 3

1 2 3

1 4 1
2 4 1
3 4 1
| 3

2 1 4
2 2 4
2 3 4

2 4 1
2 4 2
2 4 3

|
== include(page="template/taskfooter" task_id="trilant") ==

4268