radioactiv

Radioactiv

== include(page="template/taskheader" task_id="radioactiv") ==

Dintr-o suprafaţă pătrată cu latura de $N$ unităţi care este formată din $N X N$ pătrăţele cu latura de o unitate se decupează cele $4$ pătrăţele din colţuri.

p<>. La Institutul Român de Cercetari Nucleare se fac experimente în scopul studierii efectelor obţinute prin depozitarea compuşilor radioactivi în spaţiile de depozitare ale unei incinte. Experimentul se desfăşoară într-o incintă de formă pătrată având $N x N$ spaţii de depozitare identice, aşezate precum elementele unei matrice pătratice de dimensiune $N$. Convenim să numim celule spaţiile de depozitare.

h2. Cerinţă

p<>. Fiecare celulă conţine un compus care emană radiaţii (cantitatea de radiaţii emisă este un număr strict pozitiv), absoarbe radiaţii (cantitatea de radiaţii ”emisă” este un număr strict negativ) sau este neutră din punct de vedere radioactiv (cantitatea de radiaţii emisă este $0$). Compusul dintr-o celulă influenţează nu numai celula curentă, ci şi celulele din jur, pe o distanţă $k$ dată. Definim factorul radioactiv al unei celule ca fiind: valoarea din celula curenta $* 1 +$ (suma valorilor din celulele matricei aflate la distanţă 1) $* (1-1/k) +$ (suma valorilor din celulele din matrice aflate la distanţă $2$) $* (1-2/k)$ etc. pâna la distanta k de unde influenţa devine 0.
 
De exemplu, pentru $n = 10, k = 4$ şi matricea
!problema/radioactiv?x.PNG!
 
p<>. Factorul radioactiv al celulei de pe linia $5$ şi coloana $5$ se calculează cu ajutorul sumelor valorilor din celulele marcate prin culori: $2*1+(0+1-1+1+0+2+0+1)*(1-1/4)+(0+1+0-1-2-1-3-1+ 0+1+0+0+0+1+0+0)*(1-2/4)+(1+0+2+1+2+0+0+0+0-1+0+2+1-5+0+3+0-1-2+2+0+0+1+1)*(1-3/4) = 2+3-5/2+7/4 = 4.25$

Determinaţi o modalitate de a acoperi suprafaţa în întregime cu piese de arie $4$ unităţi care au forma următoare:
!problema/acoperire?a.png!

p<>. Factorul celulei de pe linia $10$ şi coloana $2$ este: $1*(-1)+(-1)*(1-1/4)+4*(1-2/4)+0*(1-3/4) = -1-3/4+2+0 = 0.25$.

Piesele pot fi si rotite sau întoarse putând astfel să folosim toate cele $8$ moduri de a le aşeza.

h2. Cerinţă
 
Să se determine numărul de celule ale matricei în care factorul radioactiv este minim.

h2. Date de intrare

Fişierul $acoperire.in$ conţine pe prima linie un număr natural $N$, cu semnificaţia din enunţ.

Fişierul $radioactiv.in$ are pe prima linie valorile naturale $n$ şi $k$, iar pe următoarele $n$ linii câte $n$ valori întregi, despărţite prin câte un spaţiu, reprezentând valorile din matrice.

h2. Date de ieşire

Fişierul $acoperire.out$ va conţine valoarea $-1$ pe prima linie dacă problema nu are soluţie, iar în caz contrar va avea următoarea structură: $N$ linii cu câte $N$ valori fiecare reprezentând codificarea suprafeţei. Numerele de pe aceeaşi linie sunt separate prin câte un spaţiu. Poziţiile ocupate de prima piesă aşezată se vor codifica cu $1$, poziţiile ocupate de a doua piesă aşezată se vor codifica cu $2$ etc. Corespunzător colţurilor lipsă se va scrie valoarea $0$.

Fişierul $radioactiv.out$ va conţine un singur număr natural reprezentând numărul de celule ale matricei în care factorul radioactiv este minim.

h2. Restricţii

* $6 ≤ N ≤ 20$
* Piesele trebuie să fie complet în interiorul zonei
* Zona trebuie acoperită integral
* Două piese nu se pot suprapune complet sau parţial

* $1 ≤ n ≤ 500$
* $1 ≤ k ≤ 20$
* valorile din matrice sunt numere întregi cu cel mult $2$ cifre
 

h2. Exemplu

table(example). |_. acoperire.in |_. acoperire.out |
| 6
| 0 7 2 2 2 0
3 7 2 4 4 4
3 7 7 4 5 5
3 3 6 1 1 5
6 6 6 8 1 5
0 8 8 8 1 0
|

table(example). |_. radioactiv.in |_. radioactiv.out |_. Explicaţii |
| 10 4
+1  +2  -1 -3  +4  +1  +1  +1  +1 +1
+0  +1  +2  +0  +0  +0  +0 -1  +1  +0
+3  +2  +0 -1 -2 %{color:blue}**-1**% -3  +0  +1  +2
+1  +0  +1  +0  +1 %{color:blue}**-1**% -1  +2  +0  +0
+0  +1  +0  +1  +2  +1  +0  +1  +0  +1
+2  +1  +0  +0  +2  +0  +1 -5  +0  +0
+0  +1  +0  +1  +0  +0  +0  +0  +2  +1
+1  +0  +0  +2 -2 -1  +0  +3  +1  +2
+0  +0  +0  +0  +1  +1  +1  +1  +1  +1
-1 -1  +0  +1 -1  +2 -1  +3  +0  +2
| 2
| Factorul radioactiv de valoare minimă $(-0.25)$ se obţine în celulele marcate.
|

== include(page="template/taskfooter" task_id="radioactiv") ==

5818