Pscfft

pscfft

_După îndelungi căutări, Tanaka a găsit manuscrisul adevărului, pe care erau scrise secretele antice ale $FFT$-ului. Cu ajutorul acestora a compus următoarea problemă:_

Notăm cu $++$ concatenarea a două șiruri $(ex. [1, 2, 3] ++ [4, 5, 6] = [1, 2, 3, 4, 5, 6]).$
 
Definim funcția inc în felul următor:
$inc([a0, ..., an-1], k, s) = [(a0+k) % s, ..., (an-1+k) $%$ s]$, unde prin $a % b$ s-a notat restul împărțirii lui a la b.
 
Definim recursiv familia de șiruri $FFT$ în felul următor:
$FFT (0, s) = [0]$
$FFT (k+1, s) = inc(FFT (k, s), 0, s) ++ inc(FFT (k, s), 1, s) ++ ... ++ inc(FFT (k, s), s-1, s)$
 

Notăm cu ++ concatenarea a două șiruri (ex. *[1, 2, 3] ++ [4, 5, 6] = [1, 2, 3, 4, 5, 6]*).
Definim funcția *inc* în felul următor:
*inc([a0, ..., an-1], k, s) = [(a0+k) $%$ s, ..., (an-1+k) $%$ s]*, unde prin *a $%$ b* s-a notat restul împărțirii
lui *a* la *b*.
Definim recursiv familia de șiruri *FFT* în felul următor:
*FFT (0, s) = [0]*
*FFT (k+1, s) = inc(FFT (k, s), 0, s) ++ inc(FFT (k, s), 1, s) ++ ... ++ inc(FFT (k, s), s-1, s)*

De exemplu:

$FFT (1, 3) = [0, 1, 2],$
$FFT (2, 3) = [0, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 0, 1],$
$FFT (3, 3) = [0, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 2, 0]$

*FFT (1, 3) = [0, 1, 2],*
*FFT (2, 3) = [0, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 0, 1],*
*FFT (3, 3) = [0, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 2, 0]*

h2. Cerinţă

Dându-se un șir $V$ de lungime $N$, un număr natural nenul $S$, se cere să se afle prima poziție unde se găsește V ca subsecvență în FFT(<tex>10^{10^{10^{100}}}</tex> + 1, S) și să se afișeze restul împărțirii acesteia la $10^9^+7$, sau să se precizeze că nu apare în șir.

Dându-se un șir *v* de lungime *N*, un număr natural nenul *s*, se cere să se afle prima poziție unde se
găsește *v* ca subsecvență în FFT (<tex>10^{10^{10^{100}}} </tex> + 1, s) și să se afișeze restul împărțirii acesteia la *10^9^+7*, sau să se precizeze că nu apare în șir.

h2. Date de intrare

Pe primul rând al fișierului de intrare pscfft.in apare numărul natural nenul $T$ care reprezintă numărul de teste. Urmează $T$ teste, fiecare cu următorul format:
Pe primul rând al unui test va apărea un număr natural nenul $N$, și un număr natural nenul $S$. Pe următoarea linie vor apărea câte $N$ numere naturale între $0$ și $S - 1$, ce reprezintă valorile lui $V$.

Pe primul rând al fișierului de intrare $pscfft.in$ apare numărul natural nenul *T* care reprezintă numărul de teste. Urmează *T* teste, fiecare cu următorul format:
Pe primul rând al unui test va apărea un număr natural nenul *N*, și un număr natural nenul *s*. Pe următoarea linie vor apărea câte *N* numere naturale între *0* și *s-1*, ce reprezintă valorile lui *v*.

h2. Date de ieşire

În fișierul de ieșire pscfft.out pentru fiecare test se va afișa pe câte o linie fie restul împărțirii la $10^9^ + 7$ a poziției de început a primei apariții a șirului $v$ ca subsecvență în șirul FFT(<tex>10^{10^{10^{100}}} </tex> + 1, S), sau $-1$ dacă aceasta nu există.

În fișierul de ieșire $pscfft.out$ pentru fiecare test se va afișa pe câte o linie fie restul împărțirii la *10^9^+7* a poziției de început a primei apariții a șirului *v* ca subsecvență în șirul FFT (<tex>10^{10^{10^{100}}} </tex> + 1, s),
sau *-1* dacă aceasta nu există.

h2. Restricţii și precizări

• $1 ≤ S ≤ 1 000 000 000$
• $1 ≤ N ≤ 500 000$
• $1 ≤ T ≤ 500 000$
• Suma $N$-urilor pentru toate testele dintr-un fișier nu depășeste $500 000$.
• Pentru $10%$ din punctaj, $T ≤ 20, N ≤ 100$ și $S ≤ 3$
• Pentru alte $10%$ din punctaj, avem $T ≤ 20 , S ≤ 4$ și răspunsul, dacă există, nu depășește $500 000$
• Pentru alte $10%$ din punctaj, $S ≤ 4$
• Pentru alte $30%$ din punctaj, $S ≤ 5$
• Pentru alte $30%$ din punctaj, $S ≤ N$
• Se garantează că dacă pentru un test există un $K$ astfel încât șirul $V$ să apară în șirul $FFT (K, S)$ atunci acest șir $V$ va apărea și în șirul FFT (<tex>10^{10^{10^{100}}} </tex> + 1 + 1, S)

• 1 ≤ s ≤ 1 000 000 000
• 1 ≤ N ≤ 500 000
• 1 ≤ T ≤ 500 000
• Suma N-urilor pentru toate testele dintr-un fișier nu depășeste 500 000.
• Pentru 10% din punctaj, T≤20, N≤100 și s≤3
• Pentru alte 10% din punctaj, avem T ≤ 20 , s ≤ 4 și răspunsul, dacă există, nu depășește 500 000
• Pentru alte 10% din punctaj, s ≤ 4
• Pentru alte 30% din punctaj, s ≤ 5
• Pentru alte 30% din punctaj, s ≤ N
• Se garantează că dacă pentru un test există un K astfel încât șirul v să apară în
șirul FFT (K, s) atunci acest șir v va apărea și în șirul FFT (<tex>10^{10^{10^{100}}} </tex> + 1 + 1, s)

h2. Exemplu