Pentru demonstraţie, vom pleca de la cazul banal când avem doar două mulţimi, fie acestea $A$ şi $B$. Dacă sunt disjuncte, este clar că reuniunea lor se calculează după relaţia <tex>|A \cup B|=|A|+|B|</tex>. Ne rămâne de rezolvat cazul când $A$ şi $B$ au cel puţin un element în comun. Relaţia anterioară numără elementele comune din cadrul reuniunii de două ori(o dată pentru $A$ şi o dată pentru $B$), de aici apare nevoia să scădem numărul acestora din rezultat. Acest lucru este uşor de făcut, dat fiind faptul că pentru $A$ şi $B$, numărul de elemente comune celor doua mulţimi este <tex>|A \cap B|</tex>. Rezultă <tex>|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|</tex>.

To be continued...

În diagrama din dreapta este reprezentat cazul cu trei muţimi $A$, $B$ şi $C$. Relaţia de mai sus se extinde la <tex> |A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A \cap B|-|B \cap C|-|C \cap A|+|A \cap B \cap C| </tex>.
 
Pentru cazul general, având $N$ mulţimi $A{~1~},A{~2~},A{~3~}...A{~n~}$, vom presupune că există un element $x$ din
<tex> \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} </tex> comun pentru exact $k$ multimi, fie acestea $A{~i1~},A{~i2~},A{~i3~}...A{~ik~}$. Vom considera cardinalele mulţimilor doar faţă de acest număr $x$ (cu alte cuvinte, ignormăm celelalte elemente). Dacă vom face intersecţia a mai mult de $k$ mulţimi, sau a unor mulţimi cu indicele de ordine diferit de $i1,i2...ik$, această intersecţie va fi evident vidă. Numărul de intersecţii a două mulţimi din cele $k$ este $C(k,2)$, numărul de intersecţii a trei mulţimi este $C(k,3)$, etc. Astfel, avem relaţia <tex> \displaystyle \bigcup_{i=1}^{k} A_{i}=C(n,1)-C(n,2)+C(n,3)+...+(-1)^k^-^1 C(n,n)=1</tex> Rezultă relaţia de demonstrat este adevărată.

h3. Aplicaţie la teoria prezentă mai sus