<tex> \displaystyle | \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} | =  \sum_{i=1}^{n} | A_{i} | - \sum_{i,j:1 \le i < j \le n} |A_{i} \cap A_{j} | + \sum_{i,j,k:1 \le i < j < k \le n} |A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k}| - \ldots + (-1)^{n-1} |A_{1} \cap \ldots \cap A_{n}| </tex>

!>problema/pinex?Inclusion-exclusion.png 50%!

!problema/pinex?Inclusion-exclusion.png 50%!

Pentru demonstraţie, vom pleca de la cazul banal când avem doar două mulţimi, fie acestea $A$ şi $B$. Dacă sunt disjuncte, este clar că reuniunea lor se calculează după relaţia <tex>|A \cup B|=|A|+|B|</tex>. Ne rămâne de rezolvat cazul când $A$ şi $B$ au cel puţin un element în comun. Relaţia anterioară numără elementele comune din cadrul reuniunii de două ori(o dată pentru $A$ şi o dată pentru $B$), de aici apare nevoia să scădem numărul acestora din rezultat. Acest lucru este uşor de făcut, dat fiind faptul că pentru $A$ şi $B$, numărul de elemente comune celor doua mulţimi este <tex>|A \cap B|</tex>. Rezultă <tex>|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|</tex>