Un algoritm naiv, evident, ar fi sa se itereze cu $X$ peste tot intervalul si sa te opresti cand gasesti numarul dorit. Acest algoritm este brute force si are complexitate evidenta O({$P$}), un pic cam incet pentru limitele problemei. Aceasta solutie ia aproximativ 30 de puncte, depinde cum este implementata si se poate vedea "aici":http://infoarena.ro/job_detail/223241?action=view-source
Exista doua solutii eficiente pentru aceasta problema, fiecare cu avantaje si dezavantaje, le voi discuta pe ambele in ceea ce urmeaza:
Pentru prima solutie trebuie sa apelam la teorema lui Ferma care zice ca pentru orice $P$ prim si $N$ , $1 ≤ N ≤ P - 1$, se verifica relatia:
$N$^{$P$}^ = {$N$} (%{$P$}).
Pentru intelegerea mai buna a solutiei doresc sa mentionez ca Z{~p~}(multimea tuturor resturilor posibile la impartirea cu $P$) cu inmultirea formeaza un grup, si asta inseamna ca orice element din Z{~p~} are un invers, unic, deci putem inmulti prin el, chiar daca nu il stim.
In alte cuvinte $N$^{$P$}^ = {$N$} (%{$P$}) | * $N$^-1^
$N$^{phi($P$)}^ = {$1$} (%{$P$}).
In alte cuvinte
$N$^{$P-1$}^ = {$1$} (%{$P$}), deci :
$N$ * $N$^{$P-2$}^ = {$1$} (%{$P$});
De unde se observa ca $N$^{$P-2$}^ este defapt $X$ -ul cautat. Deci solutia, pe scurt pentru cei care nu sunt prea interesati de demonstratie este sa ridicam $N$ la puterea $P-2$, modulo $P$, si acest numar va fi rezultatul dorit. Ridicarea la putere se face in timp logaritmic, deci complexitate finala este O(log{~2~}$P$). O astfel de implementare se poate vedea "aici":http://infoarena.ro/job_detail/223243?action=view-source .
A 2-a solutie, se bazeaza pe un simplu principiu, anume cel al euclidului extins, care zice ca exista doua numere $A$ si $B$, intregi, astfel incat $A$ * $N$ + $B$ * $P$ = cmmdc({$N$},{$P$}). Nu voi intra in detalii in legatura cu algoritmul de gasire a acestor numere $A$ si $B$, algoritm care se gaseste in Cormen sau chiar pe "infoarena":http://infoarena.ro/problema/euclid3. Se presupune ca le putem gasi in complexitate O(log{~2~}{$M$}). cmmdc({$N$},{$P$}) = 1, deoarece $N$ ≤ $P-1$ iar $P$ este prim. Deci avem ca $A$ * $N$ + $B$ * $P$ = $1$, ecuatie care o transformam in $Z{~p~}$ ,in alte cuvinte modulo $P$, si rezulta $A$ * $N$ + $0$ = $1$, fiindca $B$ * $P$ e divizibil cu $P$,din motive evidente. $A$ * $N$ = $1$ (% $P$ ), Se observa din nou ca $A$ este $X$ -ul cautat. Din pacate acum $A$ -ul poate sa fie si negativ, deci trebuie sa adaugam $P$ la $A$ pana devine pozitiv. Complexitatea O(log{~2~} $P$).
h4. Avantaje si Dezavantaje
Ne vom referi la primul algoritm optim(cel cu ridicarea la putere) ca prima rezolvare si la celalalt algoritm ca a 2a rezolvare ,pentru dezambiguizare.
Prima rezolvare are urmatoarele avantaje: e usor de demonstrat si implicit de tinut minte, e usor de implementat si nu foloseste functii recursive si nici nu face operatii care sa incetineasca programul. Dezavantajul consta in faptul ca solutia nu e flexibila si nu poate fi extinsa pentru cazul cand cmmdc({$P$},{$N$}) = $1$.
A 2-a rezolvare e mai greu de implementat, poate da overflow si in practica se comporta mai prost decat prima, desi complexitatea e aceeasi. Dar aceasta problema poate fi adaptata pentru cazul cand $P$ nu este prim si se stie doar ca $N$ si $P$ sunt relativ prime, in alte cuvinte au cmmdc({$P$},{$N$}) = $1$.
h4. Folosinta:
