'Eliminarea Gaussiana':http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_reduction este cel mai folosit algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare. Metoda reduce succesiv ecuatiile, lasand matricea initiala sub o forma din care vom putea afla usor valorile necunoscutelor. Astfel, notand cu $p{~i~}$ pozitia celui mai din stanga coeficient nenul de pe linia $i$, algoritmul garanteaza obtinerea urmatoarului sir de relatii: $p{~1~} < p{~2~} < ... < p{~N~} (1)$. Aceste pozitii vor fi chiar indicii necunoscutelor fixe, cele care pot lua o singura valoare pentru ca sistemul sa aiba in continuare solutie. Celelalte necunoscute, ale caror indici nu se regasesc printre aceste pozitii, pot lua orice valoare si se numesc variabile libere. Pentru a usura calculele, vom considera in continuare ca acestea iau valoarea $0$.

In continuare vom descrie algoritmul propriu zis. Pornim cu un indice pentru linii, sa-l notam $i$, si un indice pentru coloane, $j$, initializate initial cu $1$. Cautam pe coloana $j$, o linie $x$, $i ≤ x$ astfel incat $A{~x,j~} ≠ 0$

In continuare vom descrie algoritmul propriu-zis. Pornim cu un indice pentru linii, sa-l notam $i$, si un indice pentru coloane, $j$, initializate initial cu $1$. Cautam pe coloana $j$, o linie $x$, $i &le; x$ astfel incat $A{~x,j~} &ne; 0$. Daca aceasta linie nu exista, inseamna ca necunoscuta cu indicele $j$ este variabila libera, iar noi incrementam indicele $j$. Altfel, interschimbam liniile $i$ si $x$ si impartim toata ecuatia de pe linia $i$ la $A{~i,j~}$. In continuare vom scadea ecuatia $i$ din toate ecuatiile $u$, $i < u$, astfel incat toti coeficientii A{~u,j~} sa devina $0$. Acest lucru este necesar pentru respectarea conditiei $(1)$, avand in vedere ca nu putem avea $x &ne; i$ cu $p{~x~} = p{~i~}.

== include(page="template/taskfooter" task_id="gauss") ==