Pentru a descompune graful în componente biconexe am folosit proprietăţile parcurgerii $DFS$. După o parcurgere $DFS$ muchiile grafului se vor clasifica în două categorii:

* muchii care aparţin arborelui $DFS$ (muchiile îngroşate din figură);

* muchii care aparţin arborelui $DFS$ (muchiile normale din figură);

* muchii care nu aparţin arborelui şi care unesc un nod cu un strămoş al său, aceste muchii numindu-se muchii de întoarecere (muchiile reprezentate punctat în figură).
Problema determinării componentelor biconexe este strâns legată de problema determinării punctelor de articulaţie. După parcurgerea anterioară, un nod $X$ va fi nod de articulaţie dacă există cel puţin un fiu al său $Y$ din care nu se poate ajunge la un strămoş al lui $X$ pe un alt drum „în jos” în arborele $DFS$ şi apoi pe o muchie de întoarcere. Folosind o stivă în care reţinem muchiile din graf în ordinea în care sunt întâlnite în timpul parcurgerii, atunci când întâlnim un nod $X$ care are un fiu $Y$ cu proprietăţile de mai înainte, vom elimina din stivă toate muchiile până la muchia $(X, Y)$ inclusiv. Acest muchii formează o componentă biconexă.