Pagini recente » Istoria paginii algoritmiada-2022/runda-4 | 2SAT | Istoria paginii problema/reguli | Diferente pentru problema/imunitate intre reviziile 8 si 32 | 2SAT

Atenţie! Aceasta este o versiune veche a paginii, scrisă la 2010-01-15 19:36:59.
Revizia anterioară Revizia următoare

Fişierul intrare/ieşire:	2sat.in, 2sat.out	Sursă	Arhiva Educationala
Autor	Arhiva Educationala	Adăugată de	Cezar Mocan •CezarMocan
Timp execuţie pe test	0.425 sec	Limită de memorie	65536 kbytes
Scorul tău	N/A	Dificultate	N/A

2SAT

Problema satisfiabilităţii, notată prescurtat cu SAT, cere determinarea existenţei unei atribuiri satisfiabile pentru o formulă booleană. O atribuire de valori booleene pentru variabilele acestei expresii se numeşte „atribuire satisfiabilă” dacă evaluarea expresiei după atribuirea valorilor are ca rezultat valoarea de adevăr „adevărat”. Următoarea formulă: $((x_{1} \rightarrow x_{2}) \vee ((\bar{x_{1}} \leftrightarrow x_{3}) \wedge x_{4})) \wedge \bar{x_{2}}$ , are o atribuire satisfiabilă dată de: $\langle x_{1} = 0, x_{2} = 0, x_{3} = 1, x_{4} = 1 \rangle$ .

Utilizând următoarele echivalenţe logice: regula dublei negaţii, legile lui De Morgan şi legea distributivităţii, orice formulă booleană poate fi transformată în forma normal conjunctivă, o expresie scrisă ca o conjuncţie de propoziţii, iar fiecare propoziţie ca o disjuncţie de literali. Un exemplu de expresie în forma normal conjunctivă este: $(x_{1} \vee x_{3}) \wedge (x_{2} \vee \bar{x_{1}}) \wedge (\bar{x_{4}} \vee x{3})$ .

În consecinţă, va fi suficient să studiem doar forma normal conjunctivă. Problema SAT, pe cazul general, este NP-completă, chiar şi dacă restricţionăm expresiile la unele care în forma normal conjunctivă au doar trei literali în fiecare dintre propoziţii. Problema satisfiabilităţii pentru asemenea expresii se numeşte 3SAT.

În continuare ne vom ocupa de problema 2SAT ce are doi literali în fiecare din propoziţiile ce alcătuiesc forma normal conjunctivă, 2SAT fiind rezolvabilă în timp polinomial.

Cerinţă

Dându-se o expresie 2SAT să se determine o atribuire satisfiabilă a acesteia.

Date de intrare

Fişierul de intrare 2sat.in va conţine pe prima linie două numere naturale, N, numărul de termeni care apar în expresie, şi M, numărul de propoziţii disjunctive din care este formată expresia. Pe fiecare dintre urmatoarele M linii se vor afla câte două numere întregi, numerele de ordine ale termenilor prezenţi în fiecare dintre propoziţii. Semnul minus în faţa unui număr reprezintă negarea termenului în expresie.

Date de ieşire

În fişierul de ieşire 2sat.out se vor afişa N numere naturale, 0 sau 1, reprezentând o atribuire satisfiabilă pentru expresia dată în fişierul de intrare, sau valoarea -1 în caz că expresia nu admite soluţie.

Restricţii

1 ≤ N ≤ 100 000.
1 ≤ M ≤ 200 000.

Exemplu

2sat.in	2sat.out
4 5 -1 -2 2 -3 2 3 -2 -4 3 4	0 1 1 0

Explicaţie

Datele de intrare corespund următoarei expresii: $(\bar{x_{1}} \vee \bar{x_{2}}) \wedge (x_{2} \vee \bar{x_{3}}) \wedge (x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\bar{x_{2}} \vee \bar{x_{4}}) \wedge (x_{3} \vee x_{4})$ . O atribuire satisfiabilă este: $\langle x_{1} = 0, x_{2} = 1, x_{3} = 1, x_{4} = 0 \rangle$ .

Indicaţii de rezolvare

Articolul Problema 2-satisfiabilităţii prezintă fiecare dintre soluţiile de mai jos în detaliu. Iată o schiţă...

O soluţie evidentă este încercarea celor 2^N configuraţii posibile pentru termenii expresiei şi verificarea lor. Această abordare duce însă la o complexitate cu ordinul de excuţie O(2^N * M). Cu această soluţie se obţin 20 de puncte.

O altă soluţie se conturează dacă fixăm o variabilă p dintr-o propoziţie. În cazul acesta suntem obligaţi să îi dăm o anumită valoare celeilalte variabile din acea propoziţie, q, ceea ce ne obligă să propagăm atribuiri de valori şi variabilelor care se găsesc în alte propoziţii care îl conţin pe q, şi aşa mai departe. Astfel, dacă problema admite soluţie vom ajunge la ea. Complexitatea finală este O(N * M). Acest algoritm obţine 70 de puncte.

O alta soluţie neliniară, în complexitatea O(N² * M), se bazează pe un algoritm randomizat. Iniţial, se atribuie valori arbitrare variabilelor, după care, cât timp expresia nu este satisfăcută, se găseşte o propoziţie cu valoarea de adevăr 0 şi se schimbă valoarea unuia dintre cei doi termeni componenţi ai propoziţiei. Precizăm că această abordare se comportă foarte bine în practică, aşa că ar trebui să obţină circa 70 de puncte.

Soluţia optimă foloseşte relaţia de implicaţie pentru a transforma expresia într-un graf după cum urmează: orice disjuncţie de literali $x_{i} \vee x_{j}$ este echivalentă cu următoarele implicaţii $\bar{x_{i}} \to x_{j}$ şi $\bar{x_{j}} \to x_{i}$ . Vom construi un graf cu noduri din mulţimea $\{x_{1}, x_{2}, .., x_{n}, \bar{x_{1}}, \bar{x_{2}}, .., \bar{x_{n}}\}$ astfel: pentru orice propoziţie $x_{i} \vee x_{j}$ va exista muchie de la $\bar{x_{i}}$ la $x_{j}$ şi de la $\bar{x_{j}}$ la $x_{i}$ , după cum arată relaţiile de implicaţie echivalente.

În continuare, vom demonstra o modalitate de a atribui valori nodurilor din graf, şi, astfel, implicit variabilelor pentru a rezolva 2SAT. Legătura dintre rezolvarea acestei probleme şi valorile nodurilor este o relaţie de echivalenţă, după cum se demonstrează...

Necesitatea
Dacă avem soluţie pentru expresia 2SAT, va trebui să demonstrăm că pentru toate muchiile din graf nu întâlnim situaţii în care avem muchie de la un nod „true” la un nod „false”. Dacă presupunem prin absurd că există o astfel de muchie, între un nod $\bar{x_{i}}$ „true” (deci $x_{i}$ „false”) şi $x_{j}$ „false”, atunci muchia de la $\bar{x_{i}}$ la $x_{j}$ există în graf dacă şi numai dacă în forma normal conjunctivă apare disjuncţia $x_{i} \vee x_{j}$ . Însă, $x_{i} \vee x_{j}$ este „false” dacă ambele valori sunt „false”. Contradicţie!

Suficienţa
Dacă fiecărei propoziţii $x_{i} \vee x_{j}$ îi corespund două muchii $\bar{x_{i}} \to x_{j}$ şi $\bar{x_{j}} \to x_{i}$ , atunci, cum nu putem avea $\bar{x_{i}}$ „true”, $x_{j}$ „false” sau $\bar{x_{j}}$ „true”, $x_{i}$ „false”, nu vom avea nici $x_{i}$ şi $x_{j}$ simultan egale cu „false”. Astfel, propoziţia $x_{i} \vee x_{j}$ este adevărată.

În articolul de mai sus se arată cum se ajunge la soluţie. Iată pe scurt cum se procedează. În primul rând, graful va fi împărţit în componente tare-conexe. O proprietate importantă a acestor componente este că există un ciclu ce conţine toate vârfurile sale. Astfel, toate nodurile dintr-o componentă tare conexă vor avea, în mod necesar, aceeaşi valoare de adevăr. Dacă nu ar fi astfel, ar exista pe ciclu o valoare „true” ce ar implica o valoare „false”. Observăm că dacă un nod şi negaţia sa se găsesc în aceeaşi componentă tare conexă atunci nu există soluţie. Din câteva proprietăţi de simetrie, pe care le puteţi găsi în articol, se deduce că pentru o componentă $c$ în care se găseşte o implicaţie $x_{i} \rightarrow x_{j}$ , va exista o componentă $\bar{c}$ ce va conţine implicaţia echivalentă $\bar{x_{j}} \rightarrow \bar{x_{i}}$ . În continuare, vom contracta componentele tare-conexe într-un nod, rezultând un graf orientat aciclic. În acest graf, utilizând o sortare topologică vom împerechea succesiv nodurile după cum urmează. Se va alege un nod cu gradul de intrare zero. Din nodul său pereche, datorită simetriei de care aminteam, nu va ieşi nicio muchie. Astfel, toate valorile din componenta tare conexă asociată nodului cu gradul de intrare zero vor avea valoarea de adevăr „false”, pentru a nu impune restricţii asupra celorlalte variabile, iar toate nodurile din componenta pereche vor primi valoarea de adevăr „true”, întrucât din aceasta nu mai iese nicio muchie şi astfel nu va influenţa valorile altor variabile. Ulterior, se vor elimina cele două noduri şi se va relua procedeul.