h3. (problema grea, clasa a 9-a)

Daca o problema de probabilitati ar fi putut incurca o parte a concurentilor de clasa a 9-a, exemplele date in enunt reprezinta un indiciu destul de clar in legatura cu modalitatea de rezolvare. Din moment ce evenimentele pot aparea in orice ordine, avem $N!$ posibilitati. Ar trebui, deci, sa generam toate permutarile, sa calculam pentru fiecare permutare produsul primelor $K$ valori, si sa facem media aritmetica a rezultatelor obtinute. Problema se reduce succesiv la aranjamente si apoi la combinari, fiind suficient sa consideram toate modurile de a alege $K$ evenimente, indiferent de ordine. Solutiile cu permutari si aranjamente obtin punctaje partiale, in functie de grija acordata implementarii.
 
Problema se poate rezolva si folosind programarea dinamica. Se construieste matricea $A{~i,j~}$ cu semnificatia suma tuturor produselor de $j$ factori alesi din primele $i$ numere. Recurenta se poate calcula usor {$A{~i,j~}=A{~i-1,j~}+A{~i-1,j-1~}*P{~i~}$}. Probabilitatea ceruta va fi $A{~n,k~}$ impartita la $C{~n,k~}$ (combinari de $n$ luate cate {$k$}). Complexitate $O(n*k)$.
 

h2. 'Bowling':problema/bowling
h3. (problema usoara, clasa a 10-a)

* 'Teoria jocurilor: numerele Sprague-Grundy':http://www.ginfo.ro/revista/14_5/mate.pdf, 'GInfo Mai 2004':http://www.ginfo.ro, Cosmin Negruseri
* 'Game Theory Text: Impartial Combinatorial Games':http://www.math.ucla.edu/~tom/Game_Theory/comb.pdf, Thomas Ferguson

Aceasta probleme se regaseste in literatura de specialitate si cu titlul de _Kayles_. Rezultatul pentru un joc se poate calcula in functie de $XOR$-ul numerelor _Grundy_ pentru fiecare secventa de popice din sir. Cum $N ≤ 50.000$, trebuie calculate valorile Grundy pentru fiecare secventa de $i$ popice cu $i ≤ 50.000$. Acestea se pot calcula in complexitate patratica si se pot pune in sursa ca un sir de constante. O alta solutie se foloseste de observatia ca incepand cu $i = 72$ sirul de valori se repeta cu perioada $12$. Pentru fiecare test din fisier, complexitatea rezolvarii este $O(N)$.

Aceasta problema se regaseste in literatura de specialitate si cu titlul de _Kayles_. Rezultatul pentru un joc se poate calcula in functie de $XOR$-ul numerelor _Grundy_ pentru fiecare secventa de popice din sir. Cum $N ≤ 50.000$, trebuie calculate valorile Grundy pentru fiecare secventa de $i$ popice cu $i ≤ 50.000$. Acestea se pot calcula in complexitate patratica si se pot pune in sursa ca un sir de constante. O alta solutie se foloseste de observatia ca incepand cu $i = 72$ sirul de valori se repeta cu perioada $12$. Pentru fiecare test din fisier, complexitatea rezolvarii este $O(N)$.

h2. 'Regiuni':problema/regiuni

Aceasta problema a aparut din cauza faptului ca autorul a inteles gresit problema Druizi de la concursul .campion. Dupa ce am discutat problema cu mai multe persoane am observat ca majoritatea pornesc de la problema mai simpla de a vedea daca doua puncte sunt sau nu in acelasi grup. Ideea mea initiala este putin diferita: rezolvam problema adaugand pas cu pas cate o dreapta si mentinand informatia despre grupuri. Cand adaugam o dreapta iteram peste toate grupurile. Un grup va fi impartit in alte doua: punctele din stanga dreptei si punctele din dreapta. E posibil ca unul din aceste doua grupuri sa fie vid si atunci nu il mai retinem. Un grup il impartim in doua in $O(a)$ operatii unde a este numarul de elemente din grup. Toate grupurile vor avea in total $a1 + a2 + ... + ai + ... = M$ elemente, deci pentru a actualiza grupurile adaugand o dreapta facem $O(M)$ pasi. Astfel solutia are complexitatea finala $O(N * M)$, si este foarte usor de implementat.

Alte solutii ar fi determinarea pentru fiecare punct a unui vector ce ne spune pentru fiecare dreapta in ce parte e situat punctul. Daca doi astfel de vectori asociati la doua puncte sunt egali, atunci cele doua puncte sunt situate in aceiasi regiune. Pentru determinarea egalitatii vectorilor s-ar fi putut folosi o sortare naiva si astfel am fi avut o solutie de complexitate $O(MN log M)$ sau am fi putut folosi radix sort pentru a o aduce la $O(MN). Aceste doua solutii folosesc $O(MN)$ memorie. Alta solutie ar fi sa obtinem un cod hash pentru fiecare vector, aceasta solutie are complexitatea O(MN) ca timp si $O(M + N)$. memorie. Pentru a face probabilitatea de coliziune cat mai mica putem folosi cate doua coduri diferite pentru fiecare vector. Alta observatie ar fi ca vectorii sunt binari si pastrand informatia pe biti folosim mai putina memorie si avem mult mai putine operatii la comparare.

Alte solutii ar fi determinarea pentru fiecare punct a unui vector ce ne spune pentru fiecare dreapta in ce parte e situat punctul. Daca doi astfel de vectori asociati la doua puncte sunt egali, atunci cele doua puncte sunt situate in aceiasi regiune. Pentru determinarea egalitatii vectorilor s-ar fi putut folosi o sortare naiva si astfel am fi avut o solutie de complexitate $O(MN log M)$ sau am fi putut folosi radix sort pentru a o aduce la $O(MN)$. Aceste doua solutii folosesc $O(MN)$ memorie. Alta solutie ar fi sa obtinem un cod hash pentru fiecare vector, aceasta solutie are complexitatea $O(MN)$ ca timp si $O(M + N)$. memorie. Pentru a face probabilitatea de coliziune cat mai mica putem folosi cate doua coduri diferite pentru fiecare vector. Alta observatie ar fi ca vectorii sunt binari si pastrand informatia pe biti folosim mai putina memorie si avem mult mai putine operatii la comparare daca vrem sa folosim solutia in $O(MN log M)$.

h2. 'Elimin 2':problema/elimin2

* folosim cifra a $i$-a ( notata $c$ ) in solutia optima. Pentru ca numarul intre $i$ si $j$ sa fie palindrom, este suficient sa aflam ultima pozitie $p$ inainte de $j$ a cifrei c, solutia optima intre $i$ si $j$ obtinandu-se din solutia optima intre $i+1$ si $p-1$ la care adaugam 2 cifre ( cele din capete ).
* folosim cifra a $j$-a ( notata $c$ ) in solutia optima. Se trateaza similar.

Daca tablourile $LEFT$ si $RIGHT$ sunt construite inainte de a incepe programarea dinamica ( preprocesare ), putem construi tabloul $L$ in complexitate {$O(NR_CIF^2^)$}, unde $NR_CIF$ este numarul de cifre ale lui {$N$}. Dupa ce am construit acest tablou, putem reconstitui solutia optima. Sa presupunem ca dorim sa cautam aceasta solutie intre pozitiile {$i$} si {$j$} si {$L{~i,j~}$} = {$X$}. Vom pune la capetele solutiei cea mai mare cifra $c$ care indeplineste:
{$L{~LEFT[c,i]+1,RIGHT{@[c,j]@}-1~}$} = {$X-2$}.

Daca tablourile $LEFT$ si $RIGHT$ sunt construite inainte de a incepe programarea dinamica ( preprocesare ), putem construi tabloul $L$ in complexitate {$O(NR_CIF^2^)$}, unde $NR_CIF$ este numarul de cifre ale lui {$N$}. Dupa ce am construit acest tablou, putem reconstitui solutia optima. Sa presupunem ca solutia optima incepe cu cifra nenula {$c$}. Fie $x$ prima aparitie a cifrei $c$ in numarul $N$, si $y$ ultima aparitie. Vom selecta acea cifra $c$ pentru care valoarea {$L{~x,y~}$} este maxima. Pentru valori egale se alege cifra maxima. Dupa ce am determinat valoarea primei cifre, putem presupune ca dorim sa cautam solutia optima intre pozitiile {$i$} si {$j$} si {$L{~i,j~}$} = {$X$}. Vom pune la capetele solutiei cea mai mare cifra $c$ care indeplineste: {$L{~LEFT[c,i]+1,RIGHT{@[c,j]@}-1~}$} = {$X-2$}.

In final, eliminam {$0$}-urile terminale ( de la ambele capete ale numarului palindrom ) si afisam acest numar. De precizat ca un algoritm de complexitate {$O(NR_CIF^2^)$} si constanta $10$ ar fi obtinut in jur de 50 de puncte.

De precizat ca un algoritm de complexitate {$O(NR_CIF^2^)$} si constanta $10$ ar fi obtinut in jur de 50 de puncte.

h2. 'Distincte':problema/distincte