Notam $A{~i~}$ multimea perechilor al caror produs se scrie sub forma {$x^i^$} cu {$x$} numar natural. Problema ne cere calcularea cardinalului reuniunii multimilor $A{~i~}$.

In continuare vom arata un mod de a calcula cardinalul unei multimi {$A{~i~}$}. Se observa ca o pereche $(a,b,c) (x,y,z)$ apartine multimii {$A{~i~}$} daca {$a+x=0$},{$b+y=0$} si {$c+z=0$} (mod {$i$}). Vom constui un tablou {$Nr[r1][r2][r3]$} care reprezinta numarul de triplete $(x,y,z)$ cu proprietatea {$r1=x$},{$r2=y$},{$r3=z$} (mod {$i$}). Vom adauga la cardinalul multimii {$A{~i~}$} produse de forma {$Nr[a][b][{@c@}]*Nr[i-a][i-b][i-c]$} ({$i-a,i-b,i-c$} se calculeaza tot mod {$i$}). Deasemenea trebuie avut grija la numerele pentru care {$2*a=0$} {$2*b=0$} si {$2*c=0$} (mod {$i$}), deoarece trebuie adunat $Nr[a][b][{@c@}]*(Nr[a][b][{@c@}]-1)/2$ pentru a nu numara aceeasi pereche de mai multe ori.

In continuare vom arata un mod de a calcula cardinalul unei multimi {$A{~i~}$}. Se observa ca o pereche $(a,b,c) (x,y,z)$ apartine multimii {$A{~i~}$} daca {$a+x=0$},{$b+y=0$} si {$c+z=0$} (mod {$i$}). Vom construi un tablou {$Nr[r1][r2][r3]$} care reprezinta numarul de triplete $(x,y,z)$ cu proprietatea {$r1=x$},{$r2=y$},{$r3=z$} (mod {$i$}). Vom adauga la cardinalul multimii {$A{~i~}$} produse de forma {$Nr[a][b][{@c@}]*Nr[i-a][i-b][i-c]$} ({$i-a,i-b,i-c$} se calculeaza tot mod {$i$}). Deasemenea trebuie avut grija la numerele pentru care {$2*a=0$} {$2*b=0$} si {$2*c=0$} (mod {$i$}), deoarece trebuie adunat $Nr[a][b][{@c@}]*(Nr[a][b][{@c@}]-1)/2$ pentru a nu numara aceeasi pereche de mai multe ori.

O observatie care ne va ajuta sa calculam cardinalul reununiunii este faptul ca daca un numar se scrie de forma $x^i*j^$ el se poate scrie si sub forma {$y^i^$}, unde $y$ va fi chiar $x^j^$. Asadar $A{~i*j~}$ este inclusa in {$A{~i~}$}. Deci ne va interesa reuniunea multimilor {$A{~i~}$} pentru $i$ produs de numere prime. Cardinalul acestei reuniunii se va calcula folosind principiul includerii si excluderii:

O observatie care ne va ajuta sa calculam cardinalul reununiunii este faptul ca daca un numar se scrie de forma $x^i*j^$ el se poate scrie si sub forma {$y^i^$}, unde $y$ va fi chiar $x^j^$. Asadar $A{~i*j~}$ este inclusa in {$A{~i~}$}. Deci ne va interesa reuniunea multimilor {$A{~i~}$} pentru $i$ numar prim. Cardinalul acestei reuniunii se va calcula folosind principiul includerii si excluderii:

==code(cpp) |
|S| = |A[2]| + |A[3]| + |A[5]| + ...

* {$sigma{~i+1~} + sigma{~i+2~} + ... sigma{~i+K~}$} congruent cu $0$ ( mod $K$ )
Scazand cele doua relatii, obtinem $sigma{~i~}$ congruent cu $sigma{~i+K~}$ ( mod {$K$} ).

Fie $N$ = {$C * K + R$}, {$0 &le; r < K$}.

Fie $N$ = {$C * K + R$}, {$0 &le; R < K$}.

Se observa ca intr-o {$K$}-permutare nu conteaza decat resturile numerelor la impartirea cu $K$, si nu numerele propriu-zise. Deci putem privi o permutare in functie de cate resturi r sunt in permutare, pentru orice {$r$} de la $0$ la {$K-1$}. Se observa ca resturile de la $1$ la $R$ apar de exact {$C+1$} ori, in timp ce toate celelalte resturi apar de exact $C$ ori.
I. {$N ≥ 2 * K$}, sau, echivalent {$C ≥ 2$}. Se observa ca in primele $C$ numere din permutarea care constituie o solutie nu putem pune acelasi rest de cel putin $2$ ori. Observatia este evidenta, deoarece, cum avem relatia $sigma{~i~}$ congruent cu $sigma{~i+K~}$ ( mod {$K$} ), atunci restul care ar aparea de 2 ori in primele $C$ numere ar aparea de cel putin {$2*C$} ori ( pe primele {$C*K$} pozitii ), dar avem maxim {$C+1$} resturi disponibile egale, si cum {$2*C > C+1$}, am ajuns la o contradictie.