Soluţii ONIS 2016, Runda 1

I. Politie

Solutie 1 (100p):

Observam ca politistii vor merge intai pe toate drumurile optime (dupa enunt) dintre nodurile legate direct sau indirect doar de muchii de categorie 1, dupa aceea doar de muchii de categorie <= 2, de categorie <= 3, etc. Impartim muchiile dupa categorie. Consideram la fiecare pas i, 1 <= i <= D, ca avem nodurile grupate in componente conexe astfel incat intre orice doua noduri din cadrul aceleasi componente conexe se poate ajunge mergand numai pe muchii de categorie strict mai mica decat i. Uitandu-ne la muchiile de categorie i, este posibil ca intre unele perechi de componente conexe sa fi "aparut" una sau mai multe muchii. Politistii vor dori sa faca drumuri de la orice componenta la orice alta folosind muchiile noi (atat cat se poate) si avand grija sa aleaga de fiecare data un drum cu periculozitate maxima minima. Ne imaginam un graf, privind componentele deja stabilite ca pe noduri, si ca muchii intre ele doar muchiile originale de categorie i. Astfel, problema se reduce la a gasi un subset de muchii cu cost maxim minim astfel incat, dupa conectarea nodurilor lor aferente, intre orice doua noduri apartinand aceleeasi componente conexe din graful imaginat sa existe un drum - un Arbore partial de cost minim. Sortam, deci, muchiile din categoria curenta crescator dupa periculozitate si aplicam algoritmul lui Kruskal, avand grija sa introducem intr-un vector toate periculozitatile muchiilor selectate. Procedeul se repeta pana am epuizat toate muchiile.

Alternativ, mai simplu, putem pur si simplu sorta muchiile crescator dupa categorie, si in caz de egalitate crescator dupa periculozitate si, la sfarsit, sa aplicam Kruskal. Practic simulam procedeul de deasupra.

Complexitate timp: O(MlogM + Mlog*N).
Complexitate spatiu: O(N + M).