Vom privi din alt unghi ce inseamna ca un numar sa fie suma de mai multe numere naturale consecutive.

Avem $N = Sum(x ... y) = Sum(1 ... y) - Sum(1 ... x - 1) = y * (y + 1) / 2 - x * (x - 1) / 2 = (y * (y + 1) - x * (x - 1)) / 2$. Trecem $N$ in $2 * N$. Ecuatia devine $2 * N = y^2 + y - x^2 + x$. Descompunem diferenta de patrate si dam factor comun:  $2 * N = (y - x) * (y + x) + (y + x) = (y + x) * (y - x + 1)$. Pentru simplitatea calculelor, vom defini $Z = y + x$. Atunci, forma finala e egalitatii va fi: $2 * N = Z * (Z - 2 * x + 1)$. Observam, deci, ca pentru fiecare divizor al lui $2 * N$, fie acesta $Z$, exista maxim o pereche determinata de $Z (x, y)$ astfel incat egalitatea sa fie satisfacuta. Vom parcurge fiecare divizor al lui $2 * N$ pana la $sqrt(N)$ (inclusiv), adaugand intr-un vector perechile $(d, 2 * N / d)$ pe care le intalnim, cu $d$ divizor al lui $2 * N$.

Avem $N = Sum(x ... y) = Sum(1 ... y) - Sum(1 ... x - 1) = y * (y + 1) / 2 - x * (x - 1) / 2 = (y * (y + 1) - x * (x - 1)) / 2$. Trecem $N$ in $2 * N$. Ecuatia devine $2 * N = y^2 + y - x^2 + x$. Descompunem diferenta de patrate si dam factor comun: $2 * N = (y - x) * (y + x) + (y + x) = (y + x) * (y - x + 1)$. Pentru simplitatea calculelor, vom defini $Z = y + x$. Atunci, forma finala e egalitatii va fi: $2 * N = Z * (Z - 2 * x + 1)$. Observam, deci, ca pentru fiecare divizor al lui $2 * N$, fie acesta $Z$, exista maxim o pereche determinata de $Z (x, y)$ astfel incat egalitatea sa fie satisfacuta. Vom parcurge fiecare divizor al lui $2 * N$ pana la $sqrt(N)$ (inclusiv), adaugand intr-un vector perechile $(d, 2 * N / d)$ pe care le intalnim, cu $d$ divizor al lui $2 * N$.

Acum am vrea sa "gasim" in fiecare pereche de mai sus $(d, 2 * N / d)$ unicele $x, y$ (daca acestea exista) astfel incat $y + x = 2 * N / d$ si $y - x + 1 = d$. Ordinea trebuie sa fie aceasta, intrucat $x < y$ si $d < 2 * N / d$. Rezolvand sistemul de ecuatii, obtinem posibila pereche solutie $y = (d + (2 * N / d) - 1) / 2$ si $x = d - y$. Memoram aceste perechi candidat.