Această problemă poate fi, de asemenea, redusă la jocul $NIM$. Diferenţele poziţiilor perechilor de piese roşii şi albastre consecutive constituie numărul de pietre al grămezilor din jocul $NIM$.

h3(#problema-3). Problema 3 ('Nim Game - Give Away!':http://acm.mipt.ru/judge/problems.pl?problem=103, El Judge)

h3(#problema-3). Problema 3: 'Nim Game - Give Away!':http://acm.mipt.ru/judge/problems.pl?problem=103 (El Judge)

bq. Se consideră $N$ grămezi de pietre, jucătorii mută alternativ, fiecare jucător extrăgând oricâte pietre dintr-o singură grămadă. Cel care ia ultima piatră pierde jocul.

În continuare, să studiem alte probleme ce se pot rezolva cu numerele $Sprague-Grundy$.

h3(#problema-4). Problema 4 (Joc, Bursele Agora 2003/2004, Runda 13)

h3(#problema-4). Problema 4: Joc (Bursele Agora 2003/2004, Runda 13)

bq. Să se verifice existenţa unei strategii de câştig pentru un joc similar cu $NIM$ în care se poate lua dintr-o grămadă o piatră sau un număr prim de pietre.
Dacă determinăm valorile $Sprague-Grundy$ pentru grămezi de dimensiuni mici putem observa că se repeta o succesiune de numere: $0 1 2 3 0 1 2 3 ...$ Putem demonstra prin inducţie că această secvenţă se va repeta la nesfârşit. Pentru o grămadă de dimensiune $n$, valoarea asociată va fi $n modulo 4$. Pentru $0 ≤ n ≤ 3$ afirmaţia este adevărată. Vom presupune afirmaţia adevărată pentru toate valorile $m < n$. Să demonstrăm acum că este adevărată şi pentru $n$. Deoarece putem lua din $n$ pietre una, două sau trei pietre, mai rămâne valoarea $n modulo 4$ care nu este eliminată încă din valorile potenţiale asociate grămezii de dimensiune $n$. Vom arăta în continuare că această valoare nici nu va fi eliminată. Eliminarea ei ar însemna că putem lua din $n$ un număr $p$ de pietre şi atunci din $(n - p) modulo 4 = n modulo 4$, am avea: $p modulo 4 = 0$, dar $p$ este un număr prim, deci valoarea $Sprague-Grundy$ asociată unei grămezi de dimensiune $n$ este $n modulo 4$.

h3(#problema-5). Problema 5 ('Stone game':http://acm.mipt.ru/judge/problems.pl?problem=101, El Judge)

h3(#problema-5). Problema 5: 'Stone game':http://acm.mipt.ru/judge/problems.pl?problem=101 (El Judge)

bq. Se consideră $K$ grămezi cu $n{~1~}, n{~2~}, ..., n{~K~}$ pietre fiecare. Când este rândul său, un jucător poate lua dintr-o gramadă $2^m^$ pietre. Jucătorul care ia ultima piatră câştigă. Restricţii: $K ≤ 50, n{~i~} ≤ 10^200^$.

Observăm şi aici secvenţa repetitivă $0 1 2 0 1 2$, deci am putea trage concluzia că valoarea $Sprague-Grundy$ asociată unei grămezi de dimensiune $n$ este $n modulo 3$. Această afirmaţie este adevarată şi urmează aceeaşi demonstraţie ca în cazul problemei anterioare, iar restul $modulo 3$ pentru un număr cu $200$ de cifre este simplu de găsit determinând suma cifrelor numărului.

h3(#problema-6). Problema 6 ('Stone game II':http://acm.mipt.ru/judge/problems.pl?problem=102, El Judge)

h3(#problema-6). Problema 6: 'Stone game II':http://acm.mipt.ru/judge/problems.pl?problem=102 (El Judge)

bq. Se consideră $K$ grămezi de pietre cu $n{~1~}, n{~2~} ..., n{~K~}$ pietre. Un jucător poate lua dintr-o grămadă la mutarea lui un număr pozitiv de pietre, dar nu mai mult de jumătate din pietrele din grămadă. Jucătorul care nu mai poate muta pierde. Restricţii: $K ≤ 50, n{~i~} ≤ 100000$.

Pentru $n$ impar valoarea asociată este aceeaşi cu valoarea asociată lui $n/2$, şi pentru $n$ par valoarea asociată este $n/2$. Acest lucru se poate demonstra prin inducţie matematică.

h3(#problema-7). Problema 7 (Sticks, CEOI 2000)

h3(#problema-7). Problema 7: Sticks (CEOI 2000)

bq. Se consideră $n$ ({$n ≤ 10$}) rânduri de beţe pe o masă, cu $S{~i~}$ ({$S{~i~} ≤ 10$}) beţe aliniate pe fiecare rând şi doi jucători. Beţele de pe rândul $i$ sunt numerotate secvenţial de la $1$ la $S{~i~}$. Cei doi jucători mută alternativ. Fiecare mişcare constă în eliminarea a unu, două sau trei beţe de pe acelaşi rând. Beţele trebuie sã fie numerotate secvenţial, adică să fie consecutive. De exemplu, un rând are $10$ beţe şi primul jucător elimină beţele $4$, $5$, $6$, deci vor rămâne numai beţele $1$, $2$, $3$, $7$, $8$, $9$, $10$. Al doilea jucător poate lua la rândul său beţele $1$, $2$, $3$, dar nu beţele $3$, $7$, $8$ pentru că acestea nu sunt numerotate consecutiv (bineînţeles că există şi alte mutări valide). Câştigă jucătorul care ia ultimul băţ de pe masă.

Problema generală are o soluţie ingenioasă care ţine seama de parităţile rândurilor, dar la această problemă, datorită mărginirii lui $S{~i~}$ ({$S{~i~} ≤ 10$}) nu este necesar să fim ingenioşi. Restricţia $S{~i~} ≤ 10$ ne ajută prin faptul cã numărul total de poziţii (dacă jucăm pe o singură gramadă), este $2^10^$. Vom reprezenta o poziţie printr-un întreg, iar dacă acel întreg are în codificarea lui binară pe poziţia $i$ un bit de $1$ înseamnă că el reprezintă un rând de beţe care conţine în el băţul numerotat cu $i$. Este uşor de realizat un graf aciclic al mişcărilor pentru un rând (graful este aciclic pentru că la fiecare mutare luăm beţe din configuraţie). Numerotăm fiecare poziţie cu numerele $Sprague-Grundy$, şi acum problema deciderii dacă suntem sau nu într-o poziţie câştigătoare devine banală. În problema iniţială trebuia să jucăm împotriva calculatorului şi să câştigăm. Putem realiza aceasta folosind mutarea câştigătoare prezentată la jocul $NIM$.

h3(#problema-8). Problema 8 ('Joc':problema/joc2, Bursele Agora 2006)

h3(#problema-8). Problema 8: 'Joc':problema/joc2 (Bursele Agora 2006)

bq. Doi participanţi mănâncă alternant din nişte tablete de ciocolată după următoarele reguli:
{*} taie o tabletă în două, tăietura trebuie să fie paralelă cu una din laturile tabletei şi trebuie să nu taie pătrăţelele de ciocolată;

{*} poate să rupă şi să mănânce orice linie sau coloană de pătrăţele care nu se află pe marginea tabletei;
{*} poate să rupă şi să mănânce toate patrăţelele de pe marginea tabletei, cu condiţia ca tableta rămasă să aibă cel puţin dimensiunea $1 x 1$.
Niciuna dintre aceste trei mutări nu poate fi efectuată asupra unei tablete de dimensiune $1 x 1$. Pierde jucătorul care nu mai poate efectua nicio mutare.

{*} pot să rupă şi să mănânce orice linie sau coloană de pătrăţele care nu se află pe marginea tabletei;
{*} pot să rupă şi să mănânce toate patrăţelele de pe marginea tabletei, cu condiţia ca tableta rămasă să aibă cel puţin dimensiunea $1 x 1$.
Niciuna dintre aceste trei mutări nu poate fi efectuată asupra unei tablete de dimensiune $1 x 1$. Pierde jucătorul care nu mai poate efectua nicio mutare. În fişierul de intrare se va afla numărul $N$ ({$1 ≤ N ≤ 100$}) de tablete, iar pe următoarea linie vor fi $N$ perechi de numere întregi care reprezintă dimensiunile tabletelor. În fişierul de ieşire se va afla un singur număr întreg reprezentând numărul mutărilor câştigătoare pentru primul jucător.

h3. Soluţie
Pentru această problemă vom calcula matricea $SG{~i,j~}$ care reprezintă valoarea $Sprague-Grundy$ asociată unei tablete de dimensiuni $(i, j)$. Să vedem care este recurenţa care va satisface elementele matricei $SG$:

TODO start
<tex> SG_{i,j} = mex(SG_{i,k} {\mathbin{\char`\^}} SG_{i,j-k}, (1 \leq k < j) </tex> mutarea întâi
<tex> SG_{k,j} {\mathbin{\char`\^}} SG_{i-k,j}, \hspace{21 mm}(1 \leq k < i) </tex>
<tex> SG_{i,k} {\mathbin{\char`\^}} SG_{i,j-k-1}, \hspace{17.5 mm} (1 \leq k < j - 1) </tex> mutarea a doua
<tex> SG_{k,j} {\mathbin{\char`\^}} SG_{i-k-1,j}, \hspace{17 mm} (1 \leq k < i - 1) </tex>
<tex> SG_{i-2,j-2}) \hspace{28 mm} (i > 2 , j > 2 )</tex> mutarea a treia

<tex> SG_{i,j} = mex( \underbrace{ \underbrace{SG_{i,k} {\mathbin{\char`\^}} SG_{i,j-k},}_{1 \leq k < j} \underbrace{SG_{k,j} {\mathbin{\char`\^}} SG_{i-k,j},}_{1 \leq k < i} }_{mutarea\ \^{i}nt\^{a}i } </tex> <tex> \underbrace{ \underbrace{SG_{i,k} {\mathbin{\char`\^}} SG_{i,j-k-1},}_{1 \leq k < j - 1} \underbrace{SG_{k,j} {\mathbin{\char`\^}} SG_{i-k-1,j},}_{1 \leq k < i - 1} }_{mutarea\ a\ doua} </tex> <tex> \underbrace{ \underbrace{SG_{i-2,j-2}}_{i > 2,\ j > 2} }_{mutarea\ a\ treia} )</tex>

Acum, pentru a calcula numărul de mutări câştigătoare efectuăm asupra fiecărei tablete din fişierul de intrare toate mutările posibile care sunt cel mult de $4 * 100 + 1$ şi facem suma $XOR$ a valorilor $Sprague-Grundy$ pentru restul tabletelor neimplicate în mutare şi a tabletelor rezultate din mutare. Pentru a calcula $SG{~i,j~}$ trebuie sã parcurgem cel mult $2 * i + 2 * j + 1$ valori obţinute. Astfel, algoritmul de determinare al valorilor matricei $SG$ are ordinul de complexitatea $O(N^3^)$. Complexitatea algoritmului care determină numărul de mutări câştigătoare este $O(N^2^)$.
TODO end

Acum, pentru a calcula numărul de mutări câştigătoare efectuăm asupra fiecărei tablete din fişierul de intrare toate mutările posibile (care sunt cel mult $4 * 100 + 1$) şi facem suma $XOR$ a valorilor $Sprague-Grundy$ pentru restul tabletelor neimplicate în mutare şi a tabletelor rezultate din mutare. Pentru a calcula $SG{~i,j~}$ trebuie sã parcurgem cel mult $2 * i + 2 * j + 1$ valori obţinute. Astfel, algoritmul de determinare a valorilor matricei $SG$ are ordinul de complexitate $O(N^3^)$. Complexitatea algoritmului care determină numărul de mutări câştigătoare este $O(N^2^)$.

h2(#concluzii). Concluzii

* Thomas S. Ferguson - 'Game Theory Text':http://www.math.ucla.edu/~tom/gamescourse.html
* 'Interactive Mathematics':http://www.cut-the-knot.com
* 'Wolfram MathWorld':http://www.mathworld.wolfram.com

* 'IPSC':http://ipsc.ksp.sk/

* 'IPSC':http://ipsc.ksp.sk/
 

3590