h1. 'Problema cu becuri':problema/pcb

Construim un graf cu $N + 1$ noduri in care fiecare nod reprezinta o stare. Starea initiala este reprezentata de nodul $0$. Fiecare nod $i > 0$ va reprezenta starea in care sunt aprinse doar becurile $[0,i-1]$.

Construim un graf cu $N + 1$ noduri in care fiecare nod reprezinta o stare. Starea initiala este reprezentata de nodul $1$. Fiecare nod $i > 1$ va reprezenta starea in care sunt aprinse doar becurile $[1,i-1]$.

Pentru fiecare comutator care schimba becurile din intervalul $[a,b]$ adaugam o muchie intre nodurile $a$ si $b+1$. Explicatia este: $a$ reprezinta becurile aprinse in intervalul $[0,a-1]$ la care se adauga cele din intervalul $[a,b]$ si rezulta $[0,b]$, adica nodul $b+1$.

Pentru fiecare comutator care schimba becurile din intervalul $[a,b]$ adaugam o muchie intre nodurile $a$ si $b+1$. Explicatia este: $a$ reprezinta becurile aprinse in intervalul $[1,a-1]$ la care se adauga cele din intervalul $[a,b]$ si rezulta $[1,b]$, adica nodul $b+1$.

Deci, putem aprinde becurile $[0,X-1]$ daca exista un drum de la nodul $0$ la nodul $X$. Raspunsul la problema va fi distanta minima a unui astfel de drum, ceea ce putem afla cu o 'parcurgere in latime':problema/bfs (deoarece toate muchiile au costul $1$).

Deci, putem aprinde becurile $[1,X-1]$ daca exista un drum de la nodul $1$ la nodul $X$. Raspunsul la problema va fi distanta minima a unui astfel de drum, ceea ce putem afla cu o 'parcurgere in latime':problema/bfs (deoarece toate muchiile au costul $1$).

Solutia are complexitatea $O(N + M)$.